Suponha que um tanque/lago de peixes contenha uma quantidade inicial de
indivíduos que cresce proporcionalmente a população no instante
(em dias), a uma taxa intrínseca constante (reprodução menos óbito) dada por
.
(a) Inclua uma taxa de pesca constante
indivíduos/dia e escreva o modelo EDO + condição inicial para o problema. Determine a(s) solução(ões) de equilíbrio para este modelo e classifique-a quanto a estabilidade.
(b) Inclua uma taxa de pesca sazonal
indivíduos/dia e escreva o modelo EDO + condição inicial para o problema.
(c) Encontre a solução
deste último problema.
(a) Inclua uma taxa de pesca constante
(b) Inclua uma taxa de pesca sazonal
(c) Encontre a solução
Passo 1
O enunciado trata de um modelo de crescimento exponencial de peixes com colheita (pesca). No item (a) vamos formular a EDO com taxa de pesca constante
, achar e classificar o(s) ponto(s) de equilíbrio. No item (b) substituímos a colheita constante por uma sazonal
. No item (c) resolvemos essa EDO não homogênea de coeficientes constantes usando o fator integrante.
Passo 2
Para pesca constante definimos a população
satisfazendo
com condição inicial
Equilíbrios são valores
tais que
, isto é
Para classificar, note que
tem derivada
. Como
, o equilíbrio é instável (repulsor).
Passo 3
Com pesca sazonal
o modelo fica
com
Passo 4
Escrevemos a EDO na forma linear
onde
. O fator integrante é
, pois
Integramos:
Usando a fórmula
com
,
, obtemos
Multiplicando por
dá
Para
temos
Logo a solução é
com
.
Resposta
(a)
Equilíbrio em , instável.
Equilíbrio em
(b)
(c)
onde .
onde