Suponha que um tanque/lago de peixes contenha uma quantidade inicial de P0 indivíduos que cresce proporcionalmente a população no instante t (em dias), a uma taxa intrínseca constante (reprodução menos óbito) dada por r>0.
(a) Inclua uma taxa de pesca constante b indivíduos/dia e escreva o modelo EDO + condição inicial para o problema. Determine a(s) solução(ões) de equilíbrio para este modelo e classifique-a quanto a estabilidade.
(b) Inclua uma taxa de pesca sazonal f(t)=sin (pi t / 180) indivíduos/dia e escreva o modelo EDO + condição inicial para o problema.
(c) Encontre a solução P(t) deste último problema.

Passo 1

O enunciado trata de um modelo de crescimento exponencial de peixes com colheita (pesca). No item (a) vamos formular a EDO com taxa de pesca constante b, achar e classificar o(s) ponto(s) de equilíbrio. No item (b) substituímos a colheita constante por uma sazonal f(t)=sinl(tfracpi t180r). No item (c) resolvemos essa EDO não homogênea de coeficientes constantes usando o fator integrante.

Passo 2

Para pesca constante definimos a população P(t) satisfazendo
dPdt = rP - b,
com condição inicial
P(0)=P0
Equilíbrios são valores P^* tais que rP^*-b=0, isto é
P^*=br
Para classificar, note que f(P)=rP-b tem derivada f'(P)=r>0. Como f'(P^*)>0, o equilíbrio é instável (repulsor).

Passo 3

Com pesca sazonal f(t)=sinl(tfracpi t180r) o modelo fica
dPdt = rP - sin!l(tfracpi t180r),
com
P(0)=P0

Passo 4

Escrevemos a EDO na forma linear
dPdt-rP = -sin(omega t),
onde omega=tfracpi180. O fator integrante é mu(t)=e^-rt, pois
ddtl(e^-rtPr) = e^-rtdPdt-r e^-rtP = -e^-rtsin(omega t)
Integramos:
e^-rtP = -integral e^-rtsin(omega t),dt + C
Usando a fórmula
integral e^atsin(bt),dt = e^atl(asin(bt)-bcos(bt)r)a^2+b^2,
com a=-r, b=omega, obtemos
-integral e^-rtsin(omega t),dt = e^-rtl(rsin(omega t)+omegacos(omega t)r)r^2+omega^2
Multiplicando por e^rt
P(t) = C e^rt + rsin(omega t)+omegacos(omega t)r^2+omega^2
Para P(0)=P0 temos
P0 = C + omegar^2+omega^2 Longrightarrow C = P0-omegar^2+omega^2
Logo a solução é
P(t) = l(P0-omegar^2+omega^2r)e^rt + rsin(omega t)+omegacos(omega t)r^2+omega^2,
com omega=tfracpi180.

Resposta

(a) dPdt=rP-b, P(0)=P0
Equilíbrio em P^*=br, instável.
(b) dPdt=rP-sin!l(tfracpi t180r), P(0)=P0
(c) P(t) =l(P0-tfracomegar^2+omega^2r)e^rt +rsin(omega t)+omegacos(omega t)r^2+omega^2,
onde omega=tfracpi180.

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