Suponha que a temperatura, em graus Celsius, num ponto de uma chapa metálica plana seja . onde e estão em metros. Calcule a temperatura média da porção retangular da chapa dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em cada ponto de uma chapa metálica: . Nosso objetivo é calcular a temperatura média nessa porção retangular da chapa que vai de a metros e de a metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular a média de uma função sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a temperatura média em uma região é dada pela integral dupla da função de temperatura sobre essa região, dividida pela área total da região. A fórmula para a temperatura média é:
Onde é a área da região .
Passo 3
Vamos calcular a área da região retangular. Como a região vai de a e de a , a área é:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a soma das temperaturas em todos os pontos da região. A função de temperatura é , então a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver primeiro a integral interna, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a x:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora que temos a integral dupla igual a , vamos calcular a temperatura média dividindo esse valor pela área da região, que é 2 metros quadrados:
Resposta
A temperatura média da porção retangular da chapa é aproximadamente graus Celsius.