Suponha que a temperatura, em graus Celsius, num ponto (x, y) de uma chapa metálica plana seja T(x, y) = 10 - 8 x^2 - 2 y^2. onde x e y estão em metros. Calcule a temperatura média da porção retangular da chapa dada por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em cada ponto (x, y) de uma chapa metálica: . Nosso objetivo é calcular a temperatura média nessa porção retangular da chapa que vai de x = 0 a x = 1 metros e de a metros. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular a média de uma função sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a temperatura média em uma região é dada pela integral dupla da função de temperatura sobre essa região, dividida pela área total da região. A fórmula para a temperatura média Tm é:
Onde A é a área da região R.

Passo 3

Vamos calcular a área da região retangular. Como a região vai de x = 0 a x = 1 e de a , a área A é:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a soma das temperaturas em todos os pontos da região. A função de temperatura é , então a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver primeiro a integral interna, que é em relação a y:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a x:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora que temos a integral dupla igual a , vamos calcular a temperatura média dividindo esse valor pela área da região, que é 2 metros quadrados:

Resposta

A temperatura média da porção retangular da chapa é aproximadamente graus Celsius.

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