Suponha que o tempo médio de espera para um cliente ser atendido pelo funcionário da firma para a qual ele está ligando seja 5 minutos.
Calcule a probabilidade de a ligação ser atendida no primeiro minuto. Sabendo que a densidade de probabilidade é:
\mathrm{f}(x)=\left\{ \begin{array}{rll} 0 & , \text { se } & 0>x>1 \\\\ 0.2 \epsilon^{\frac{-t}{5}} & , \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \end{array} \right.
Temos que a média da distribuição exponencial é \mu=5 min, e assim, sabemos que a função densidade de probabilidade é:
Então a probabilidadae de a ligação ser atendida no primeiro minuto é:
P(0 \leq T \leq 1)=\int_{0}^{1} f(t) d t
P(0 \leq T \leq 1)=\int_{0}^{1} 0.2 \epsilon^{\frac{-t}{5}} d t=0.2(-5)\left[\epsilon^{\frac{-t}{5}}\right]_{0}^{1}
P(0 \leq T \leq 1)=1-\epsilon^{\frac{-t}{5}} \cong 0.1813
Assim, cerca de 18 \% das ligações dos clientes são atendidas durante os primeiros minutos.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de espera T segue uma distribuição exponencial com média \mu=5 minutos, ou seja, com parâmetro
\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{5} = 0,2.
Queremos achar a probabilidade de atendimento no primeiro minuto, isto é,
P(0 \le T \le 1).

Passo 2

A função densidade da exponencial é
f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t} = 0,2\,e^{-0,2\,t},\quad t\ge0.
Portanto,
P(0 \le T \le 1) = \int_{0}^{1}0,2\,e^{-0,2\,t}\,dt.

Passo 3

Para calcular essa integral, note que
\int e^{-0,2\,t}\,dt = -\frac{1}{0,2}\,e^{-0,2\,t} = -5\,e^{-0,2\,t}.
Logo,
P(0 \le T \le 1) = 0,2\Bigl[-5\,e^{-0,2\,t}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl[-e^{-0,2\,t}\bigr]_{0}^{1} = 1 - e^{-0,2} \approx 0,1813.

Resposta

P(0 \le T \le 1) = 1 - e^{-1/5} \approx 0,1813\\ (\text{cerca de }18{,}13\%).

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