Suponha que
e
têm dimensão finita e
. Prove que existem
e
invertíveis tais que
se, e só se,
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
têm dimensão finita e que
. Pede-se provar a equivalência entre duas afirmações:
- Existem
e invertíveis tais que
- As dimensões dos núcleos de
e são iguais, isto é,
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
e são transformações lineares de em . -
e são finitas. - Precisamos provar uma bicondicional: mostrar (i) que a existência de
invertíveis implica e (ii) que implica a existência de tais .
Passo 2
Vamos provar a implicação "se
com
invertíveis, então
". Primeiro explico um conceito usado: para uma transformação linear
, o núcleo
é o conjunto
. Se
é invertível então
é injetora, logo
. Uma propriedade útil: para
qualquer e
invertível,
se
atua no espaço alvo ou
se
atua no domínio. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Suponha
com
e
invertíveis. Então
Como
é invertível (e portanto injetora), a igualdade
equivale a
. Assim o núcleo de
é o mesmo que o núcleo de
:
Agora, para o produto
com
invertível, vale
isto é,
exatamente quando
. Como
é um isomorfismo de
em si, a aplicação
é bijetora entre
e
. Portanto
. Juntando tudo,
Isto mostra a direção necessária da bicondicional.
Passo 3
Agora vamos provar a recíproca: se
, então existem
e
invertíveis tais que
. Vou fazer isso construindo
e
explicitamente por escolhas de bases adequadas. Antes, alguns conceitos úteis e resultados que usarei:
- Teorema do posto-nulidade (rank-nullity): para
,
Assim, se
então
.
- Podemos escolher bases compatíveis com núcleos e imagens: dado um subespaço
de um espaço vetorial de dimensão finita, existe uma base de todo o espaço que começa por uma base de (isto é, estendemos a base de a uma base do espaço). Usarei essa propriedade para escolher bases de e que adequadamente “separam” núcleos e imagens.
Passo 4
Fixe
. Pelo pressuposto,
também. Seja
. Pelo teorema do posto-nulidade,
e também
.
Construa bases assim:
- Para
: escolha uma base de . Complete-a a uma base de escolhendo vetores tais que
é uma base de
. Então os vetores
formam uma base de
(porque
e
restringido ao espaço gerado por
é injetor e sua imagem tem dimensão
).
- Para
: escolha uma base de . Complete-a a uma base de com vetores de modo que
é uma base de
. Os vetores
formam uma base de
.
- Em
: escolha uma base que comece com uma base de , isto é, tome e complete com vetores de modo que
é uma base de
. Similarmente, escolha uma base
que comece com
e complete com vetores
para formar uma base de
:
Observação prática: as quantidades
são iguais em ambos os casos porque
.
Passo 5
Definimos agora
como o único operador linear que leva a base
em
componente a componente, isto é:
Explicação: uma transformação linear é determinada pelos seus valores numa base; portanto essa especificação define um
linear. Como
mapeia uma base em outra base bijetivamente,
é invertível (um mapa que envia base em base é um isomorfismo). Assim
está bem definido e é invertível.
Analogamente, definimos
como o operador linear que envia a base
em
componente a componente:
Pelo mesmo motivo,
é linear e invertível (leva base em base).
Passo 6
Agora verificamos que com essas definições temos
. É suficiente verificar a igualdade em uma base de
, por linearidade.
- Para os vetores da base que pertencem ao núcleo de
, ou seja : aplicando o lado direito,
Mas
, então
. Logo
. E pelo fato de
temos
. Portanto a igualdade vale nesses vetores.
- Para os vetores
: temos
Pela construção de
,
. Assim
Essas verificações mostram que
e
coincidem em todos os vetores da base
. Como duas transformações lineares que coincidem numa base são iguais, concluímos
.
Passo 7
Recapitulando de forma motivadora: a ideia essencial foi que igualdade das dimensões dos núcleos garante igualdade dos postos (ranks), o que permite escolher bases que tornam os mapas
e
“da mesma forma” quando separam componentes nulas e não-nulas. Em seguida construímos
e
como mudanças de base adequadas no domínio e no contradomínio para transportar a representação de
na representação de
. Isso é exatamente o conteúdo geométrico da equivalência pedida.
Resposta
Existem
e
invertíveis tais que
se, e só se,
.