Suponha que V e W têm dimensão finita e S, T \in \mathcal{L}(V, W). Prove que existem E_{1} \in \mathcal{L}(V) e E_{2} \in \mathcal{L}(W) invertíveis tais que S=E_{2} T E_{1} se, e só se, \operatorname{dim} N(S)=\operatorname{dim} N(T).

Passo 1

O enunciado dá que V e W têm dimensão finita e que S,T\in\mathcal{L}(V,W). Pede-se provar a equivalência entre duas afirmações:
  1. Existem E_{1}\in\mathcal{L}(V) e E_{2}\in\mathcal{L}(W) invertíveis tais que
S = E_{2}\,T\,E_{1}.
  1. As dimensões dos núcleos de S e T são iguais, isto é,
\dim N(S)=\dim N(T).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • S e T são transformações lineares de V em W.
  • \dim V e \dim W são finitas.
  • Precisamos provar uma bicondicional: mostrar (i) que a existência de E_{1},E_{2} invertíveis implica \dim N(S)=\dim N(T) e (ii) que \dim N(S)=\dim N(T) implica a existência de tais E_{1},E_{2}.

Passo 2

Vamos provar a implicação "se S=E_{2}TE_{1} com E_{1},E_{2} invertíveis, então \dim N(S)=\dim N(T)". Primeiro explico um conceito usado: para uma transformação linear A, o núcleo N(A) é o conjunto \{v\in V\mid A(v)=0\}. Se F é invertível então F é injetora, logo N(F)=\{0\}. Uma propriedade útil: para A qualquer e F invertível, N(FA)=N(A) se F atua no espaço alvo ou N(AF)=F^{-1}(N(A)) se F atua no domínio. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Suponha S=E_{2}TE_{1} com E_{1} e E_{2} invertíveis. Então
N(S)=N(E_{2}TE_{1}).
Como E_{2} é invertível (e portanto injetora), a igualdade E_{2}(x)=0 equivale a x=0. Assim o núcleo de E_{2}TE_{1} é o mesmo que o núcleo de TE_{1}:
N(E_{2}TE_{1}) = N(TE_{1}).
Agora, para o produto TE_{1} com E_{1} invertível, vale
N(TE_{1}) = E_{1}^{-1}(N(T)),
isto é, v\in N(TE_{1}) exatamente quando E_{1}(v)\in N(T). Como E_{1} é um isomorfismo de V em si, a aplicação E_{1}^{-1} é bijetora entre N(T) e N(TE_{1}). Portanto \dim N(TE_{1})=\dim N(T). Juntando tudo,
\dim N(S)=\dim N(E_{2}TE_{1})=\dim N(TE_{1})=\dim N(T).
Isto mostra a direção necessária da bicondicional.

Passo 3

Agora vamos provar a recíproca: se \dim N(S)=\dim N(T), então existem E_{1}\in\mathcal{L}(V) e E_{2}\in\mathcal{L}(W) invertíveis tais que S=E_{2}TE_{1}. Vou fazer isso construindo E_{1} e E_{2} explicitamente por escolhas de bases adequadas. Antes, alguns conceitos úteis e resultados que usarei:
  • Teorema do posto-nulidade (rank-nullity): para A\in\mathcal{L}(V,W),
\dim V = \dim N(A) + \dim \operatorname{Range}(A).
Assim, se \dim N(S)=\dim N(T) então \dim \operatorname{Range}(S)=\dim \operatorname{Range}(T).
  • Podemos escolher bases compatíveis com núcleos e imagens: dado um subespaço U de um espaço vetorial de dimensão finita, existe uma base de todo o espaço que começa por uma base de U (isto é, estendemos a base de U a uma base do espaço). Usarei essa propriedade para escolher bases de V e W que adequadamente “separam” núcleos e imagens.

Passo 4

Fixe n=\dim N(T). Pelo pressuposto, \dim N(S)=n também. Seja r=\dim \operatorname{Range}(T). Pelo teorema do posto-nulidade,
r = \dim V - n,
e também \dim \operatorname{Range}(S)=r.
Construa bases assim:
  • Para T: escolha uma base \{a_{1},\dots,a_{n}\} de N(T). Complete-a a uma base de V escolhendo vetores \{u_{1},\dots,u_{r}\} tais que
\mathcal{B}_V = \{a_{1},\dots,a_{n},u_{1},\dots,u_{r}\}
é uma base de V. Então os vetores \{T(u_{1}),\dots,T(u_{r})\} formam uma base de \operatorname{Range}(T) (porque T(a_i)=0 e T restringido ao espaço gerado por \{u_j\} é injetor e sua imagem tem dimensão r).
  • Para S: escolha uma base \{a_{1}',\dots,a_{n}'\} de N(S). Complete-a a uma base de V com vetores \{u_{1}',\dots,u_{r}'\} de modo que
\mathcal{B}_V' = \{a_{1}',\dots,a_{n}',u_{1}',\dots,u_{r}'\}
é uma base de V. Os vetores \{S(u_{1}'),\dots,S(u_{r}')\} formam uma base de \operatorname{Range}(S).
  • Em W: escolha uma base \mathcal{C}_W que comece com uma base de \operatorname{Range}(T), isto é, tome \{T(u_{1}),\dots,T(u_{r})\} e complete com vetores \{w_{1},\dots,w_{s}\} de modo que
\mathcal{C}_W = \{T(u_{1}),\dots,T(u_{r}),w_{1},\dots,w_{s}\}
é uma base de W. Similarmente, escolha uma base \mathcal{C}_W' que comece com \{S(u_{1}'),\dots,S(u_{r}')\} e complete com vetores \{w_{1}',\dots,w_{s}'\} para formar uma base de W:
\mathcal{C}_W' = \{S(u_{1}'),\dots,S(u_{r}'),w_{1}',\dots,w_{s}'\}.
Observação prática: as quantidades s são iguais em ambos os casos porque \dim W = r + s.

Passo 5

Definimos agora E_{1}\in\mathcal{L}(V) como o único operador linear que leva a base \mathcal{B}_V' em \mathcal{B}_V componente a componente, isto é:
E_{1}(a_{i}') = a_{i},\quad i=1,\dots,n,
E_{1}(u_{j}') = u_{j},\quad j=1,\dots,r.
Explicação: uma transformação linear é determinada pelos seus valores numa base; portanto essa especificação define um E_{1} linear. Como E_{1} mapeia uma base em outra base bijetivamente, E_{1} é invertível (um mapa que envia base em base é um isomorfismo). Assim E_{1} está bem definido e é invertível.
Analogamente, definimos E_{2}\in\mathcal{L}(W) como o operador linear que envia a base \mathcal{C}_W em \mathcal{C}_W' componente a componente:
E_{2}\big(T(u_{j})\big) = S(u_{j}'),\quad j=1,\dots,r,
E_{2}(w_{k}) = w_{k}',\quad k=1,\dots,s.
Pelo mesmo motivo, E_{2} é linear e invertível (leva base em base).

Passo 6

Agora verificamos que com essas definições temos S = E_{2} T E_{1}. É suficiente verificar a igualdade em uma base de V, por linearidade.
  1. Para os vetores da base que pertencem ao núcleo de S, ou seja a_{i}': aplicando o lado direito,
E_{2}T E_{1}(a_{i}') = E_{2}T(a_{i})\quad\text{(porque \(E_{1}(a_{i}')=a_{i}\))}.
Mas a_{i}\in N(T), então T(a_{i})=0. Logo E_{2}T E_{1}(a_{i}')=E_{2}(0)=0. E pelo fato de a_{i}'\in N(S) temos S(a_{i}')=0. Portanto a igualdade vale nesses vetores.
  1. Para os vetores u_{j}': temos
E_{2}T E_{1}(u_{j}') = E_{2}T(u_{j})\quad\text{(pois \(E_{1}(u_{j}')=u_{j}\))}.
Pela construção de E_{2}, E_{2}\big(T(u_{j})\big)=S(u_{j}'). Assim
E_{2}T E_{1}(u_{j}') = S(u_{j}').
Essas verificações mostram que E_{2}T E_{1} e S coincidem em todos os vetores da base \mathcal{B}_V'. Como duas transformações lineares que coincidem numa base são iguais, concluímos S = E_{2}T E_{1}.

Passo 7

Recapitulando de forma motivadora: a ideia essencial foi que igualdade das dimensões dos núcleos garante igualdade dos postos (ranks), o que permite escolher bases que tornam os mapas T e S “da mesma forma” quando separam componentes nulas e não-nulas. Em seguida construímos E_{1} e E_{2} como mudanças de base adequadas no domínio e no contradomínio para transportar a representação de T na representação de S. Isso é exatamente o conteúdo geométrico da equivalência pedida.

Resposta

Existem E_{1}\in\mathcal{L}(V) e E_{2}\in\mathcal{L}(W) invertíveis tais que S=E_{2}TE_{1} se, e só se, \dim N(S)=\dim N(T).