Suponha que você comece no ponto
e se mova
unidades de comprimento ao longo da curva
na direção positiva. Em que ponto da curva você está agora?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por
. Você começa no ponto
e se move
unidades de comprimento ao longo dessa curva na direção positiva. Nosso objetivo é encontrar em que ponto da curva você vai estar após esse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada. Isso envolve calcular a integral do módulo da derivada da função posição
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto inicial
corresponde a algum valor de
na nossa parametrização. Substituindo
na função
:
Então, começamos em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é a velocidade vetorial
:
Passo 4
O próximo passo é calcular o módulo dessa velocidade vetorial, que nos dá a velocidade escalar:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Perfeito! O módulo da velocidade é constante e igual a 5. Isso significa que o comprimento de arco
em função de
é:
Passo 6
Queremos mover
unidades de comprimento. Então, igualamos
a
:
Passo 7
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na função posição
para encontrar o ponto final:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Após mover
unidades de comprimento na curva, você estará no ponto
.