Suponha que
e
. Prove que:
b)
.
b)
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos dois conjuntos
e
dos números reais, e precisamos provar que o fechamento de
intersectado com
está contido no fechamento de
intersectado com o fechamento de
. Estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente com o fechamento de conjuntos. Para resolver isso, vamos usar definições e propriedades básicas de fechamento e interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fechamento de um conjunto. O fechamento de um conjunto
, denotado por
, é o menor conjunto fechado que contém
. Em termos de pontos,
inclui todos os pontos de
mais todos os seus pontos limite.
Passo 3
Queremos mostrar que se um elemento
está em
, então ele também está em
. Vamos considerar um ponto
que pertence a
.
Passo 4
Como
está em
, por definição, todo entorno de
contém pelo menos um ponto de
. Além disso,
está em
, o que significa que
pertence a
.
Passo 5
Para mostrar que
está em
, precisamos verificar que todo entorno de
contém pelo menos um ponto de
. Como
já pertence a
, todo entorno de
obviamente contém
, que é um ponto de
.
Passo 6
Portanto,
pertence a
e também a
, ou seja,
está em
.
Resposta
Assim, provamos que
.