Suponhamos que 25,0 \mathrm{~g} de alumínio, a 80,0 \mathrm{~K}, sejam misturados cuidadosamente, com 12,0 \mathrm{~g} de alumínio a 200 K num recipiente isolado. Qual é a temperatura final da mistura? Suponha que a teoria da capacidade calorífica de Einstein seja válida e que, nestas temperaturas relativamente baixas, a diferença entre a capacidade calorífica, a volume constante, e a capacidade calorífica, a pressão constante, possa ser desprezada. Além disso, suponha que não haja trocas de energia entre as duas amostras de alumínio e o recipiente. A temperatura de Einstein do alumínio pode ser considerada igual a 290 K .

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de alumínio, uma de massa m_1=25{,}0\:\mathrm{g} a T_1=80{,}0\:\mathrm{K} e outra de massa m_2=12{,}0\:\mathrm{g} a T_2=200\:\mathrm{K}. O sistema é isolado e a capacidade calorífica segue o modelo de Einstein com temperatura de Einstein \theta_E=290\:\mathrm{K}. Vamos usar conservação de energia interna, sabendo que no modelo de Einstein a energia interna por mol (em relação a zero absoluto) é
U(T)\;=\;\frac{3R\,\theta_E}{\exp\bigl(\tfrac{\theta_E}{T}\bigr)-1}\,.

Passo 2

Calculamos o número de mols de cada amostra usando a massa molar do Al, M=26{,}98\:\mathrm{g/mol}:
n_1=\frac{25{,}0}{26{,}98}=0{,}9269\:\mathrm{mol}, \quad n_2=\frac{12{,}0}{26{,}98}=0{,}4446\:\mathrm{mol}.

Passo 3

Pela conservação de energia interna, o calor ganho por uma amostra somado ao calor ganho pela outra é zero:
n_1\bigl[U(T_f)-U(T_1)\bigr]+n_2\bigl[U(T_f)-U(T_2)\bigr]=0.
Dessa relação segue
(n_1+n_2)\,U(T_f)\;=\;n_1\,U(T_1)+n_2\,U(T_2),
ou seja
U(T_f) =\frac{n_1\,U(T_1)+n_2\,U(T_2)}{n_1+n_2}\,.

Passo 4

Calculamos U(T_1) e U(T_2) pelo modelo de Einstein:
U(T) =\frac{3R\,\theta_E}{\exp(\theta_E/T)-1}.
Para T_1=80{,}0\:\mathrm{K}:
U(T_1) =\frac{3\cdot8{,}314\cdot290}{\exp(290/80)-1} \approx198{,}1\:\mathrm{J/mol}.
Para T_2=200\:\mathrm{K}:
U(T_2) =\frac{3\cdot8{,}314\cdot290}{\exp(290/200)-1} \approx2\,218\:\mathrm{J/mol}.

Passo 5

A energia interna final por mol fica
U(T_f) =\frac{0{,}9269\times198{,}1+0{,}4446\times2\,218}{0{,}9269+0{,}4446} \approx853{,}3\:\mathrm{J/mol}.
Agora invertendo a fórmula de U(T), obtemos
\exp\!\bigl(\tfrac{\theta_E}{T_f}\bigr)-1 =\frac{3R\,\theta_E}{U(T_f)} \quad\Longrightarrow\quad T_f =\frac{\theta_E}{\ln\!\bigl(1+\tfrac{3R\,\theta_E}{U(T_f)}\bigr)}.

Passo 6

Substituindo os valores:
T_f =\frac{290}{\ln\!\bigl(1+\tfrac{3\cdot8{,}314\cdot290}{853{,}3}\bigr)} \approx129\:\mathrm{K}.

Resposta

A temperatura final da mistura é aproximadamente 129\:\mathrm{K}.

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