Suponhamos que
de alumínio, a
, sejam misturados cuidadosamente, com
de alumínio a 200 K num recipiente isolado. Qual é a temperatura final da mistura? Suponha que a teoria da capacidade calorífica de Einstein seja válida e que, nestas temperaturas relativamente baixas, a diferença entre a capacidade calorífica, a volume constante, e a capacidade calorífica, a pressão constante, possa ser desprezada. Além disso, suponha que não haja trocas de energia entre as duas amostras de alumínio e o recipiente. A temperatura de Einstein do alumínio pode ser considerada igual a 290 K .
Passo 1
O enunciado dá duas amostras de alumínio, uma de massa
a
e outra de massa
a
. O sistema é isolado e a capacidade calorífica segue o modelo de Einstein com temperatura de Einstein
. Vamos usar conservação de energia interna, sabendo que no modelo de Einstein a energia interna por mol (em relação a zero absoluto) é
Passo 2
Calculamos o número de mols de cada amostra usando a massa molar do Al,
:
Passo 3
Pela conservação de energia interna, o calor ganho por uma amostra somado ao calor ganho pela outra é zero:
Dessa relação segue
ou seja
Passo 4
Calculamos
e
pelo modelo de Einstein:
Para
:
Para
:
Passo 5
A energia interna final por mol fica
Agora invertendo a fórmula de
, obtemos
Passo 6
Substituindo os valores:
Resposta
A temperatura final da mistura é aproximadamente
.