Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja dado por
V(x, y, z) = 100 / (x^2 + y^2 + z^2),
onde V é dado em volts e x, y, z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação a distância em (2, 1, 1) na direção dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos o potencial elétrico , onde está em volts e em centímetros. Precisamos encontrar a taxa instantânea de variação de em relação à distância nas direções dos eixos , e no ponto . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais do cálculo multivariável, que nos permite encontrar como muda em cada direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, aplicamos a regra da derivada para funções de múltiplas variáveis:
Simplificando:

Passo 3

De maneira semelhante, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nos valores de , e :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na derivada parcial de :
Para :
E para :

Resposta

A taxa instantânea de variação de nas direções dos eixos é:
  • Eixo : volts/cm
  • Eixo : volts/cm
  • Eixo : volts/cm

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