Suppose that the central diffraction maximum for two slits has 17 interference fringes for some wavelength of light. How many interference fringes would you expect in the diffraction maximum adjacent to one side of the central diffraction maximum?

Passo 1

O enunciado dá uma única informação numérica e pede uma única coisa. Informação dada:
  • A máxima difrativa central (o lóbulo central do envelope de difração de cada fenda) contém 17 franjas de interferência para uma certa \lambda.
O que é pedido:
  • Quantas franjas de interferência se espera na máxima difrativa imediatamente adjacente, isto é, no primeiro lóbulo lateral (apenas de um dos lados) ao lado da máxima central?

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas essenciais (sem resolver ainda, apenas explicando o que significa cada coisa).
  • As franjas de interferência para duas fendas ocorrem em ângulos \theta tais que
\sin\theta = m\,\frac{\lambda}{d},
onde \lambda é o comprimento de onda, d é a separação entre centros das fendas e m é um inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots). Cada m dá uma franja brilhante (interferência).
  • O envelope de difração (de cada fenda com largura a) tem mínimos em
\sin\theta = n\,\frac{\lambda}{a},
com n=\pm1,\pm2,\dots. O lóbulo central vai entre n=-1 e n=+1; o primeiro lóbulo lateral vai entre n=1 e n=2 (do lado positivo), etc.
  • Em palavras: as franjas de interferência ficam espaçadas em \sin\theta por \lambda/d; os mínimos de difração estão em múltiplos de \lambda/a.

Passo 3

Agora vamos relacionar as larguras angulares dos lóbulos difrativos com o espaçamento das franjas de interferência.
  • Largura angular (em termos de \sin\theta) do lóbulo central:
\Delta(\sin\theta)_{\text{central}} = \left(+\frac{\lambda}{a}\right) - \left(-\frac{\lambda}{a}\right) = \frac{2\lambda}{a}.
  • Largura angular (em \sin\theta) de um lóbulo lateral (por exemplo o primeiro, entre n=1 e n=2):
\Delta(\sin\theta)_{\text{lateral}} = \frac{2\lambda}{a}-\frac{\lambda}{a}=\frac{\lambda}{a}.
Ou seja: o lóbulo central é duas vezes mais largo que cada lóbulo lateral (em termos de \sin\theta).

Passo 4

Como as franjas de interferência aparecem com passo em \sin\theta igual a \lambda/d, o número aproximado de franjas contidas num lóbulo é a razão largura do lóbulo / passo das franjas.
  • Número aproximado de franjas no lóbulo central:
N_{\text{central}}\approx\frac{2\lambda/a}{\lambda/d}=2\frac{d}{a}.
  • Número aproximado de franjas num lóbulo lateral:
N_{\text{lateral}}\approx\frac{\lambda/a}{\lambda/d}=\frac{d}{a}.
Observação didática: esse cálculo dá um valor não-inteiro em geral; o número inteiro real de franjas observadas depende de onde exatamente ficam os máximos de interferência em relação aos mínimos de difração (se coincidirem, aquela franja some). Mas a proporcionalidade mostra que, aproximadamente, o lóbulo central tem o dobro do número de franjas do lóbulo lateral.

Passo 5

Agora use a informação numérica: o lóbulo central tem exatamente 17 franjas observadas. Modelando com contagem exata simétrica, o lóbulo central tem uma franja central mais N franjas de cada lado, totalizando 2N+1. Assim:
2N+1 = 17 \quad\Rightarrow\quad N = 8.
Aqui N é o número de franjas de interferência num lado do centro dentro do lóbulo central. Como o lóbulo lateral tem, em ângulo, metade da largura do lóbulo central, ele caberá aproximadamente N franjas (ou seja, cerca de metade do total central, lembrando que o lóbulo lateral é só de um lado).

Passo 6

Conclusão numérica e observações finais:
  • Pelo raciocínio acima, o primeiro lóbulo lateral de um lado deve conter aproximadamente N=8 franjas de interferência.
  • (Pequena nota técnica: se se quisesse rigorar sobre casos em que alguma franja coincide exatamente com um mínimo de difração, poderia haver uma ambiguidade entre 8 ou 9 dependendo do valor exato de d/a; mas o enunciado típico assume o caso genérico onde tomamos a metade do número lateral do central, levando à resposta única 8.)

Resposta

8\\ \text{franjas}