Suppose you are given a formula for a function
.
(b) How do you determine where the graph of
is concave upward or concave downward?
(b) How do you determine where the graph of
Passo 1
O enunciado pede que, dada a fórmula de uma função
, eu determine em quais intervalos o gráfico de
é côncavo para cima e em quais é côncavo para baixo.
Informações dadas (implícitas): tenho uma expressão algébrica para e posso calcular derivadas. Não há figura nem domínio extra fornecido, então vou trabalhar com o domínio natural da função obtida da sua fórmula.
Informações dadas (implícitas): tenho uma expressão algébrica para
Passo 2
Intuição importante antes de começar a máquina de derivar: dizer que o gráfico é “côncavo para cima” significa que a curva se parece com uma tigela aberta para cima — se eu andar da esquerda para a direita o declive (a inclinação) da curva aumenta. Dizer que é “côncavo para baixo” é o contrário: a curva parece um arco aberto para baixo e a inclinação diminui enquanto andamos para a direita. Em linguagem de cálculos, isso significa falar sobre a variação da derivada.
Passo 3
Apresentando as ferramentas:
- A primeira derivada
mede a inclinação (slope) da curva em cada ponto. - A segunda derivada
é a derivada de e mede como essa inclinação está mudando.
Logo, se a inclinação está aumentando (), a curva é côncava para cima; se a inclinação está diminuindo ( ), a curva é côncava para baixo. Aqui cada símbolo significa: é a variável independente (ponto no eixo ), é a taxa de variação instantânea de em , e é a taxa de variação instantânea de .
Passo 4
Método passo a passo que você deve aplicar na prova (faça exatamente nesta ordem):
- Calcule
. Expliquei acima o que é, então só execute a diferenciação. - Calcule
derivando . Simplifique tanto quanto possível (fatorar ajuda). - Determine o domínio onde
existe (pontos onde pode ser indefinida devem ser anotados). - Resolva a equação
e anote também pontos onde é indefinida. Esses pontos dividem o domínio em intervalos candidatos. - Faça um quadro de sinais (sign chart) para
: escolha um ponto teste em cada intervalo entre as raízes/indefinições e avalie o sinal de nesse ponto. - Conclua: em cada intervalo onde
a curva é côncava para cima; em cada intervalo onde a curva é côncava para baixo. - Se quiser localizar pontos de inflexão, verifique que em um ponto onde
(ou indefinida) o sinal de realmente troca ao atravessar o ponto — só então há inflexão.
Passo 5
Exemplo prático (muito mastigado) 1:
.
Calcule :
.
Calcule :
.
Resolva :
. O domínio é todo
.
Quadro de sinais: para testamos
:
(côncavo para baixo). Para
testamos
:
(côncavo para cima). Como o sinal troca em
,
é ponto de inflexão.
Resumo do exemplo: côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
Calcule
Calcule
Resolva
Quadro de sinais: para
Resumo do exemplo:
Passo 6
Exemplo prático 2:
.
Calcule : primeiro
, depois
. Aqui
para todo
, então
é côncava para cima em todo o domínio
. Não há pontos de inflexão porque o sinal de
não muda.
Calcule
Passo 7
Caso sutis que valem atenção na prova:
- Se
mas o sinal de não muda ao passar por (por exemplo : tem mas é em todo lugar), então não é ponto de inflexão. Sempre confirme troca de sinal. - Se
é indefinida em algum ponto , ainda pode haver inflexão se muda de crescente para decrescente (ou vice-versa) atravessando . Nesse caso faça análise do comportamento de ou do próprio gráfico localmente.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (rápidas e úteis):
- Fatorar
ajuda muito para achar raízes e ver sinais. - Faça o quadro de sinais com cuidado: marque raízes e pontos onde
não existe. - Se estiver sem tempo, às vezes basta testar um ponto em cada intervalo entre raízes para decidir a concavidade daquele intervalo.
- Sempre declare o domínio considerado, pois fora do domínio a discussão de concavidade não faz sentido.
Você consegue! Respira, faz os passos e o quadro de sinais — vira rotina rápido.
Resposta
Concavo para cima: onde
.
Côncavo para baixo: onde .
Côncavo para baixo: onde