Suppose you are given a formula for a function f.
(b) How do you determine where the graph of f is concave upward or concave downward?

Passo 1

O enunciado pede que, dada a fórmula de uma função f, eu determine em quais intervalos o gráfico de f é côncavo para cima e em quais é côncavo para baixo.
Informações dadas (implícitas): tenho uma expressão algébrica para f(x) e posso calcular derivadas. Não há figura nem domínio extra fornecido, então vou trabalhar com o domínio natural da função obtida da sua fórmula.

Passo 2

Intuição importante antes de começar a máquina de derivar: dizer que o gráfico é “côncavo para cima” significa que a curva se parece com uma tigela aberta para cima — se eu andar da esquerda para a direita o declive (a inclinação) da curva aumenta. Dizer que é “côncavo para baixo” é o contrário: a curva parece um arco aberto para baixo e a inclinação diminui enquanto andamos para a direita. Em linguagem de cálculos, isso significa falar sobre a variação da derivada.

Passo 3

Apresentando as ferramentas:
  • A primeira derivada f'(x) mede a inclinação (slope) da curva em cada ponto.
  • A segunda derivada f''(x) é a derivada de f'(x) e mede como essa inclinação está mudando.
    Logo, se a inclinação está aumentando ( f''(x)>0), a curva é côncava para cima; se a inclinação está diminuindo ( f''(x)<0), a curva é côncava para baixo. Aqui cada símbolo significa: x é a variável independente (ponto no eixo x), f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em x, e f''(x) é a taxa de variação instantânea de f'(x).

Passo 4

Método passo a passo que você deve aplicar na prova (faça exatamente nesta ordem):
  1. Calcule f'(x). Expliquei acima o que é, então só execute a diferenciação.
  2. Calcule f''(x) derivando f'(x). Simplifique tanto quanto possível (fatorar ajuda).
  3. Determine o domínio onde f''(x) existe (pontos onde pode ser indefinida devem ser anotados).
  4. Resolva a equação \,f''(x)=0\, e anote também pontos onde f''(x) é indefinida. Esses pontos dividem o domínio em intervalos candidatos.
  5. Faça um quadro de sinais (sign chart) para f''(x): escolha um ponto teste em cada intervalo entre as raízes/indefinições e avalie o sinal de f'' nesse ponto.
  6. Conclua: em cada intervalo onde f''(x)>0 a curva é côncava para cima; em cada intervalo onde f''(x)<0 a curva é côncava para baixo.
  7. Se quiser localizar pontos de inflexão, verifique que em um ponto onde f''(x)=0 (ou indefinida) o sinal de f'' realmente troca ao atravessar o ponto — só então há inflexão.

Passo 5

Exemplo prático (muito mastigado) 1: f(x)=x^3.
Calcule f'(x): \,f'(x)=3x^2\,.
Calcule f''(x): \,f''(x)=6x\,.
Resolva f''(x)=0: \,6x=0\Rightarrow x=0\,. O domínio é todo \mathbb{R}.
Quadro de sinais: para x<0 testamos x=-1: f''(-1)=6(-1)=-6<0 (côncavo para baixo). Para x>0 testamos x=1: f''(1)=6>0 (côncavo para cima). Como o sinal troca em x=0, x=0 é ponto de inflexão.
Resumo do exemplo: f côncava para baixo em (-\infty,0) e côncava para cima em (0,\infty).

Passo 6

Exemplo prático 2: f(x)=x^2.
Calcule f''(x): primeiro f'(x)=2x, depois f''(x)=2. Aqui f''(x)=2>0 para todo x, então f é côncava para cima em todo o domínio (-\infty,\infty). Não há pontos de inflexão porque o sinal de f'' não muda.

Passo 7

Caso sutis que valem atenção na prova:
  • Se f''\text{(c)}=0 mas o sinal de f'' não muda ao passar por c (por exemplo f(x)=x^4: f''(x)=12x^2 tem f''(0)=0 mas f'' é \ge 0 em todo lugar), então c não é ponto de inflexão. Sempre confirme troca de sinal.
  • Se f'' é indefinida em algum ponto c, ainda pode haver inflexão se f' muda de crescente para decrescente (ou vice-versa) atravessando c. Nesse caso faça análise do comportamento de f' ou do próprio gráfico localmente.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (rápidas e úteis):
  • Fatorar f''(x) ajuda muito para achar raízes e ver sinais.
  • Faça o quadro de sinais com cuidado: marque raízes e pontos onde f'' não existe.
  • Se estiver sem tempo, às vezes basta testar um ponto em cada intervalo entre raízes para decidir a concavidade daquele intervalo.
  • Sempre declare o domínio considerado, pois fora do domínio a discussão de concavidade não faz sentido.
    Você consegue! Respira, faz os passos e o quadro de sinais — vira rotina rápido.

Resposta

Concavo para cima: onde \,f''(x)>0\,.
Côncavo para baixo: onde \,f''(x)<0\,.