Uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} contendo 5 \mathrm{kgH}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg} sólido deve ser espessada em uma lama contendo 1,5 \mathrm{kgH}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg} sólido. Calcule a área do sedimentador para produção de 2.177 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Ensaios com proveta foram realizados, fornecendo os resultados apresentados na Tabela.
concentraçāo inicial
\left(\mathrm{kg} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg}\right. sólido )
5,0 4,2 3,7 3,1 2,5
velocidade de sedimentação
(\mathrm{m} / \mathrm{h})
0,61 0,36 0,29 0,21 0,15

Passo 1

O enunciado pede a área do sedimentador necessária para produzir 2.177\\ \mathrm{kg/h} de lama espessa com 1,5\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido}ó, a partir de uma suspensão inicial com 5\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido}ó. Dados fornecidos na Tabela (peguei os valores da tabela fornecida no enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} \text{concentração inicial }( \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido}) & 5{,}0 & 4{,}2 & 3{,}7 & 3{,}1 & 2{,}5\\hline \text{velocidade de sedimentação }(\mathrm{m/h}) & 0{,}61 & 0{,}36 & 0{,}29 & 0{,}21 & 0{,}15 \end{array}çãóçã
Informações relevantes listadas:
  • concentração de alimentação (em \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido}ó): w_f=5{,}0 (valor da tabela);
  • concentração de produto espesso (lama): w_u=1{,}5;
  • produção de lama espessa: \dot{M}_u = 2{,}177\\ \mathrm{kg/h} (interpreto como massa de lama espessa por hora);
  • velocidades experimentais v (m/h) dadas na tabela para as concentrações listadas.
    Não resolvo nada aqui; só organizei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Converter a produção de lama espessa em vazão mássica de sólidos. Explico a ideia: a razão w dada ( \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido}ó) nos diz que para cada 1\\ \mathrm{kg} de sólido há w kg de água; assim a massa de lama (produto) por kg de sólido é 1+w. Logo a vazão mássica de sólidos \dot{S} (kg sólidos/h) é
\dot{S}=\frac{\dot{M}_u}{1+w_u}.
Substituindo w_u=1{,}5 e \dot{M}_u=2{,}177\\ \mathrm{kg/h},
\dot{S}=\frac{2{,}177}{1+1{,}5}=\frac{2{,}177}{2{,}5}=870{,}8\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: precisamos remover/assentar 870{,}8\\ \mathrm{kg} de sólidos por hora no sedimentador.

Passo 3

Explico o conceito usado para dimensionar a área: o fluxo mássico de sólidos que um metro quadrado de área pode transportar para cima (ou equival. o fluxo que se pode sedimentar) é o chamado fluxo sólido (ou “fluxo de sedimentação”)
j\text{(C)}=v\text{(C)}\,C_s,
onde:
  • v\text{(C)} é a velocidade de sedimentação medida em ensaio para uma dada concentração (m/h);
  • C_s é a concentração de sólidos em massa por volume de suspensão (kg sólidos/m^3).
    Para um espessador contínuo, a condição de projeto simples é que a vazão de sólidos \dot{S} seja menor ou igual ao produto da área A pelo máximo possível de j\text{(C)} no intervalo de concentrações relevantes. Então
A=\frac{\dot{S}}{j_{\max}}.
Agora preciso calcular j para os pontos experimentais. Para isso convertemos a razão w ( \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido}ó) em fração mássica de sólidos \varphi (kg sólidos/kg lama):
\varphi=\frac{1}{1+w}.
Em seguida a concentração de sólidos em massa por volume C_s é obtida por
C_s=\varphi\\ \rho_{\text{lama}}.
Aqui fazemos a aproximação usual de engenharia \rho_{\text{lama}}\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade próxima da água, assumida para simplificar e comum em exercícios deste tipo). Se quiser mais precisão, usaríamos densidade medida.

Passo 4

Calcular \varphi, C_s e o fluxo sólido j=v\;C_s para cada ponto da tabela (usei os pares (w,v) da tabela fornecida):
Para w=5{,}0 e v=0{,}61:
\varphi=\frac{1}{1+5{,}0}=\frac{1}{6}=0{,}1666667,
C_s=\varphi\cdot 1000=166{,}667\\ \mathrm{kg/m^3},
j=0{,}61\times 166{,}667=101{,}667\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)}.
Para w=4{,}2 e v=0{,}36:
\varphi=\frac{1}{1+4{,}2}=\frac{1}{5{,}2}=0{,}1923077,
C_s=192{,}308\\ \mathrm{kg/m^3},
j=0{,}36\times 192{,}308=69{,}231\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)}.
Para w=3{,}7 e v=0{,}29:
\varphi=\frac{1}{1+3{,}7}=\frac{1}{4{,}7}=0{,}2127660,
C_s=212{,}766\\ \mathrm{kg/m^3},
j=0{,}29\times 212{,}766=61{,}705\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)}.
Para w=3{,}1 e v=0{,}21:
\varphi=\frac{1}{1+3{,}1}=\frac{1}{4{,}1}=0{,}2439024,
C_s=243{,}902\\ \mathrm{kg/m^3},
j=0{,}21\times 243{,}902=51{,}219\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)}.
Para w=2{,}5 e v=0{,}15:
\varphi=\frac{1}{1+2{,}5}=\frac{1}{3{,}5}=0{,}2857143,
C_s=285{,}714\\ \mathrm{kg/m^3},
j=0{,}15\times 285{,}714=42{,}857\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)}.
Resumo dos j calculados (valores em \mathrm{kg/(m^2\\ h)}):
101{,}667,\\\ 69{,}231,\\\ 61{,}705,\\\ 51{,}219,\\\ 42{,}857.

Passo 5

Determinar j_{\max} no intervalo de interesse. O intervalo de concentrações relevante vai da alimentação w_f=5{,}0 até o produto w_u=1{,}5. Os ensaios fornecidos cobrem w=5{,}0 até w=2{,}5; observamos que os valores de j diminuem quando a suspensão fica mais concentrada (ou seja, j é máximo no ponto mais diluído testado). Como a tendência mostrada aponta queda contínua de j ao aumentar a concentração de sólidos, e o valor experimental máximo é no ponto w=5{,}0, adotamos
j_{\max}=101{,}667\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)}.
(Se houvesse um pico interno do tipo Kynch entre w=5 e w=1{,}5 precisaríamos de mais dados; com os dados fornecidos a escolha conservadora e usual é usar o maior j medido.)

Passo 6

Calcular a área necessária usando
A=\frac{\dot{S}}{j_{\max}}.
Substituindo \dot{S}=870{,}8\\ \mathrm{kg/h} e j_{\max}=101{,}667\\ \mathrm{kg/(m^2\\ h)},
A=\frac{870{,}8}{101{,}667}=8{,}566\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais,
A\approx 8{,}57\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Resumo final e observações rápidas (amigável): a área calculada é de aproximadamente 8{,}57\\ \mathrm{m^2}. Usei a aproximação de densidade da lama igual a 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e assumi que o maior fluxo sólido observado nos ensaios ( w=5{,}0) controla o projeto. Se você tiver densidade medida da lama ou mais pontos experimentais (especialmente entre w=2{,}5 e w=1{,}5), podemos refinar o resultado — mas isso já te coloca com um número prático para a prova. Força: você consegue!

Resposta

A=8{,}57\\ \mathrm{m^2}

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