Uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3}(\mathrm{~s}) em NaOH e \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} é lavada com uma massa igual de 5 \% em peso de NaOH diluído em água. A suspensão lavada e sedimentada contém 2 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} de solução por \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} de \mathrm{CaCO}_{3} sólido. A solução pode ser considerada a mesma composição que a solução transparente retirada da unidade. Se a pasta de alimentação contiver frações de massa iguais de todos os componentes, calcule a concentração da solução sem sólidos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} (sólido) em \mathrm{NaOH} e \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}.
  • A suspensão é lavada com uma massa igual à massa da suspensão, sendo o líquido de lavagem uma solução a 5\% em massa de \mathrm{NaOH} em água.
  • Após lavar e sedimentar, a pasta sedimentada contém 2\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} de solução por 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} de \mathrm{CaCO}_{3} sólido.
  • A solução retida na pasta tem a mesma composição que a solução transparente retirada (filtrado).
  • A pasta de alimentação (a suspensão inicial) contém frações de massa iguais de todos os componentes (ou seja, massas iguais de \mathrm{CaCO}_{3}, \mathrm{NaOH} e \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} na alimentação).
O enunciado pede: calcular a concentração da solução sem sólidos (ou seja, a fração em massa de \mathrm{NaOH} na fase líquida, normalmente expressa em % em massa).

Passo 2

Escolher uma base conveniente para fazer balanços de massa.
  • É muito prático tomar como base 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} de \mathrm{CaCO}_{3} sólido no sistema final, porque a razão de solução retida é dada por unidade de massa de sólido.
  • Se a alimentação tem frações de massa iguais dos três componentes ( \mathrm{CaCO}_{3}, \mathrm{NaOH}, \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}), então a massa total da alimentação F satisfaz \dfrac{1}{3}F=1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}. Portanto:
F=3\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.

Passo 3

Determinar as massas dos componentes na alimentação (pela hipótese de frações iguais).
  • Na alimentação (total 3\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}):
    • \mathrm{CaCO}_{3}: 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
    • \mathrm{NaOH} (sólido/soluto na fase líquida da suspensão): 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
    • \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}: 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.

Passo 4

Determinar as massas trazidas pela solução de lavagem.
  • A massa de lavagem é igual à massa da suspensão (diz o enunciado), logo massa de lavagem W=3\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
  • A lavagem é solução 5\% em massa de \mathrm{NaOH}. Assim:
    • \mathrm{NaOH} na lavagem: 0,05\times3=0,15\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
    • Água na lavagem: 3-0,15=2,85\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.

Passo 5

Somar tudo para obter massas totais antes da separação final.
  • Total de \mathrm{CaCO}_{3} sólido: 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} (presume-se que não se perde).
  • Total de \mathrm{NaOH}: 1 + 0,15 = 1,15\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
  • Total de água: 1 + 2,85 = 3,85\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
  • Portanto, massa total da solução (fase líquida) no sistema: 1,15 + 3,85 = 5,00\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.

Passo 6

Aplicar a informação sobre o conteúdo da pasta sedimentada e a hipótese de mesma composição da solução retida e do filtrado.
  • A pasta contém 2\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} de solução por 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} de sólido. Como escolhemos 1\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m} de sólido, a massa de solução retida na pasta é 2\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.
  • Logo, a massa de solução que sai como filtrado (transparente) é:
\text{filtrado} = \text{total solução} - \text{retida} = 5{,}00 - 2{,}00 = 3{,}00\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}.çã
  • Como a solução retida e o filtrado têm a mesma composição, existe uma única concentração em massa c (fração mássica de \mathrm{NaOH}) que vale tanto no retido quanto no filtrado.

Passo 7

Fazer o balanço de massa do soluto \mathrm{NaOH} para obter a concentração c.
  • A massa total de \mathrm{NaOH} disponível é 1{,}15\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}. Essa massa está distribuída entre a solução retida ( 2\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}) e o filtrado ( 3\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}), ambos com a mesma fração mássica c. Assim:
c\times(2{,}00+3{,}00)=1{,}15.
  • Portanto:
c=\dfrac{1{,}15}{5{,}00}=0{,}23.

Passo 8

Interpretar o resultado e fazer uma checagem rápida.
  • A fração mássica c=0{,}23 corresponde a 23\% em massa de \mathrm{NaOH} na solução.
  • Checagem: \mathrm{NaOH} retida =0{,}23\times2{,}00=0{,}46\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}; \mathrm{NaOH} no filtrado =0{,}23\times3{,}00=0{,}69\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}. Soma 0{,}46+0{,}69=1{,}15\\ \mathrm{lb}_\mathrm{m}, confirma o balanço.

Resposta

23\%\\ \text{(em massa de NaOH na solução)}çã

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