Uma mistura contendo 10 \% \mathrm{EtOH} e 90 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} em peso é alimentada a uma coluna de destilação a uma taxa de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O destilado contém 60% EtOH e é produzido a uma taxa de 1/10 do foi alimentado. Quais são as composições e as taxas de fluxo do sistema?

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação e pede as composições e fluxos nos produtos da coluna. Vou listar claramente tudo o que sabemos (peguei os números do enunciado):
  • Taxa de alimentação: F = 1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição em massa da alimentação: 10\% EtOH e 90\% H _2O, ou seja a fração mássica de EtOH na alimentação é z_F = 0,10.
  • O destilado é produzido à taxa de 1/10 da alimentação: a taxa de destilado D vale D = \dfrac{1}{10}F.
  • Composição do destilado (fração mássica de EtOH): x_D = 0,60 (isto é, 60\% EtOH).
  • O que se pede: as composições e as taxas de fluxo do sistema — isto normalmente significa encontrar a taxa e a composição do fundo (bottom) além de confirmar os fluxos de EtOH e água nos correntes.

Passo 2

Explicando a ideia física/matemática (aula rápida e prática): em balanços de massa, para um sistema em regime estacionário sem acumulação, valem duas equações principais que usaremos:
  1. Balanço de massa total (conservação da massa):
F = D + B,
onde B é a taxa de fluxo do produto de fundo (bottom).
  1. Balanço de massa para o componente EtOH (conservação do EtOH):
F z_F = D x_D + B x_B,
onde x_B é a fração mássica de EtOH no fundo — é a incógnita que queremos achar (além de B, mas B sai do balanço total).
Também é útil lembrar que a fração mássica de água em qualquer corrente é 1 menos a fração mássica de EtOH nessa corrente.

Passo 3

Calcular a taxa de destilado D a partir da informação D = \dfrac{1}{10}F.
D = \frac{1}{10}\,F = \frac{1}{10}\cdot 1000\\ \mathrm{kg/h} = 100\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Usar o balanço total para encontrar a vazão do fundo B:
B = F - D = 1000\\ \mathrm{kg/h} - 100\\ \mathrm{kg/h} = 900\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Agora usar o balanço de componente (EtOH) para achar a fração mássica no fundo x_B. Primeiro calcule a massa de EtOH que entra com a alimentação e a massa de EtOH que sai no destilado:
  • EtOH alimentado:
F z_F = 1000\\ \mathrm{kg/h}\cdot 0,10 = 100\\ \mathrm{kg/h}.
  • EtOH no destilado:
D x_D = 100\\ \mathrm{kg/h}\cdot 0,60 = 60\\ \mathrm{kg/h}.
A diferença é a massa de EtOH que fica no fundo:
\text{EtOH no fundo} = F z_F - D x_D = 100 - 60 = 40\\ \mathrm{kg/h}.
Como o fundo tem vazão B = 900\\ \mathrm{kg/h}, a fração mássica de EtOH no fundo é
x_B = \frac{\text{EtOH no fundo}}{B} = \frac{40\\ \mathrm{kg/h}}{900\\ \mathrm{kg/h}} = \frac{40}{900}.

Passo 6

Fazer a divisão e expressar como fração e em percentual (usando vírgula decimal):
x_B = \frac{40}{900} = 0,044444\ldots \approx 0,04444.
Convertendo para porcentagem:
x_B \approx 4,444\% \\ (\text{EtOH no fundo}).
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar x_B \approx 0,0444 (ou 4,44\%).

Passo 7

Complemento útil: composições e fluxos de água para conferência e entendimento.
  • Fração mássica de água no destilado: 1 - x_D = 1 - 0,60 = 0,40 (ou 40\%).
  • Fração mássica de água no fundo: 1 - x_B = 1 - 0,044444\ldots = 0,955555\ldots (ou 95,555\%).
Fluxos de água (por balanço de componente água ou simplesmente subtraindo EtOH do total):
  • Água na alimentação: 1000\\ \mathrm{kg/h}\cdot 0,90 = 900\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água no destilado: 100\\ \mathrm{kg/h}\cdot 0,40 = 40\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água no fundo: 900\\ \mathrm{kg/h} - 40\\ \mathrm{kg/h} = 860\\ \mathrm{kg/h}. (ou 900\\ \mathrm{kg/h}\cdot 0,955555\ldots = 860\\ \mathrm{kg/h}).
Esses números fecham os balanços (verificação rápida): EtOH total 100 = 60 + 40. Água total 900 = 40 + 860. Total 1000 = 100 + 900.

Resposta

Taxas: D = 100\\ \mathrm{kg/h}, B = 900\\ \mathrm{kg/h}.
Composições (frações mássicas): x_D = 0,60 (60,0% EtOH), x_B \approx 0,04444 (4,444% EtOH).

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