t y^{\prime}+2 y=(\operatorname{sen} t) / t, \quad y(-\pi / 2)=a, \quad t<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pede a solução para t<0. Informações fornecidas:
t\,y'(t)+2y(t)=\frac{\operatorname{sen} t}{t},\qquad y\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=a,\qquad t<0.
Pergunta: encontrar a função y(t) definida para t<0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é y'+p(t)y=q(t). Dividindo ambos os lados por t (lembrando que t\neq0 e aqui estamos com t<0), obtemos
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=\frac{\sin t}{t^{2}}.
Explicação didática: a forma y'+p(t)y=q(t) é conveniente porque existe um método direto (fator integrante) que transforma o lado esquerdo numa derivada exata \frac{d}{dt}(\mu(t)y).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Por definição,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{t}\,dt\right).
A integral \int \frac{2}{t}\,dt=2\ln|t|. Então
\mu(t)=\exp(2\ln|t|)=|t|^{2}.
Como estamos considerando t<0, temos |t|=-t, mas |t|^{2}=t^{2}. Portanto, podemos tomar
\mu(t)=t^{2}\quad\text{para }t<0.
Comentário prático: usar \mu=t^{2} facilita as contas e é positivo no domínio t<0.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^{2}. O lado esquerdo ficará exatamente como derivada de \mu(t)y(t):
t^{2}\,y'(t)+2t\,y(t)=\sin t.
Repare que a combinação do lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t^{2}y'(t)+2t y(t).
Logo a equação se simplifica para
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=\sin t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t. A integral do lado direito é simples:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)\,dt=\int \sin t\,dt \quad\Rightarrow\quad t^{2}y(t)=-\cos t + C,
onde C é a constante de integração. Explicação: \int \sin t\,dt=-\cos t+C. Não pule essa etapa na prova — trocar a derivada pelo integral é o passo que “desfaz” a diferenciação.

Passo 6

Isolamos y(t):
y(t)=\frac{-\cos t + C}{t^{2}}.
Comentário prático: até aqui temos a solução geral no intervalo onde a equação é válida ( t\neq0); agora usamos a condição inicial para encontrar C.

Passo 7

Usamos a condição inicial y\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=a. Substituindo t=-\frac{\pi}{2} em y(t):
a=y\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{-\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)+C}{\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}}.
Calculamos \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e \left(-\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}=\tfrac{\pi^{2}}{4}. Assim
a=\frac{0+C}{\tfrac{\pi^{2}}{4}}=\frac{C}{\tfrac{\pi^{2}}{4}} \quad\Rightarrow\quad C=a\cdot\frac{\pi^{2}}{4}.

Passo 8

Substituindo C na expressão de y(t) obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(t)=\frac{-\cos t + \dfrac{\pi^{2}a}{4}}{t^{2}},\qquad t<0.
Observações finais didáticas: a solução é válida apenas para t<0 (não podemos atravessar t=0 porque a equação original tem termos com 1/t). Em uma prova, cheque sempre o domínio e substitua a condição inicial para determinar a constante.

Resposta

y(t)=\frac{-\cos t + \dfrac{\pi^{2}a}{4}}{t^{2}},\quad t<0.

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