Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pede a solução para
. Informações fornecidas:
Pergunta: encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
e aqui estamos com
), obtemos
Explicação didática: a forma
é conveniente porque existe um método direto (fator integrante) que transforma o lado esquerdo numa derivada exata
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Por definição,
A integral
. Então
Como estamos considerando
, temos
, mas
. Portanto, podemos tomar
Comentário prático: usar
facilita as contas e é positivo no domínio
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo ficará exatamente como derivada de
:
Repare que a combinação do lado esquerdo é a derivada do produto:
Logo a equação se simplifica para
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. A integral do lado direito é simples:
onde
é a constante de integração. Explicação:
. Não pule essa etapa na prova — trocar a derivada pelo integral é o passo que “desfaz” a diferenciação.
Passo 6
Isolamos
:
Comentário prático: até aqui temos a solução geral no intervalo onde a equação é válida (
); agora usamos a condição inicial para encontrar
.
Passo 7
Usamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Calculamos
e
. Assim
Passo 8
Substituindo
na expressão de
obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Observações finais didáticas: a solução é válida apenas para
(não podemos atravessar
porque a equação original tem termos com
). Em uma prova, cheque sempre o domínio e substitua a condição inicial para determinar a constante.