Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial (peguei tudo do enunciado):
- Equação:
. - Condição inicial:
. - Domínio indicado:
.
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
e que também satisfaz
.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
. Divido ambos os lados por
(isso é permitido porque, no domínio dado,
):
Aqui
e
. Explico: a forma
é a forma padrão para aplicar o método do fator integrante.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A regra é
Substituindo
:
Como o domínio é
, temos
, mas
já que a potência é par. Portanto podemos usar
Comentário didático: o fator integrante transforma o lado esquerdo da equação num produto que é derivada de
.
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
:
Agora observo que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Logo a equação se escreve como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora calculo a integral
. Uso integração por partes: tomo
e
. Então
e
. Pela fórmula
:
Portanto
Passo 6
Isolar
:
Agora aplico a condição inicial
. Substituo
:
Então
Passo 7
Substituo
na expressão geral e simplifico:
Se quiser escrever de modo levemente diferente:
Lembrete: essa solução vale no domínio
(e, por extensão pelo cálculo, para qualquer
, mas o enunciado pediu
).