t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{t}, \quad y(-1)=0, \quad t<0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial (peguei tudo do enunciado):
  • Equação: t^{3}y'+4t^{2}y=e^{t}.
  • Condição inicial: y(-1)=0.
  • Domínio indicado: t<0.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t<0 e que também satisfaz y(-1)=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão y'+P(t)y=Q(t). Divido ambos os lados por t^{3} (isso é permitido porque, no domínio dado, t\neq0):
y'+\frac{4}{t}y=\frac{e^{t}}{t^{3}}.
Aqui P(t)=\dfrac{4}{t} e Q(t)=\dfrac{e^{t}}{t^{3}}. Explico: a forma y'+P(t)y=Q(t) é a forma padrão para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). A regra é
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Substituindo P(t)=\dfrac{4}{t}:
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{4}{t}\,dt\right)=\exp(4\ln|t|)=|t|^{4}.
Como o domínio é t<0, temos |t|=-t, mas |t|^{4}=t^{4} já que a potência é par. Portanto podemos usar
\mu(t)=t^{4}.
Comentário didático: o fator integrante transforma o lado esquerdo da equação num produto que é derivada de \mu(t)y.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(t)=t^{4}:
t^{4}y'+4t^{3}y = t^{4}\cdot\frac{e^{t}}{t^{3}} = t e^{t}.
Agora observo que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^{4}y:
\frac{d}{dt}\big(t^{4}y\big)=t^{4}y'+4t^{3}y.
Logo a equação se escreve como
\frac{d}{dt}\big(t^{4}y\big)=t e^{t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t^{4}y=\int t e^{t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Agora calculo a integral \int t e^{t}\,dt. Uso integração por partes: tomo u=t e dv=e^{t}dt. Então du=dt e v=e^{t}. Pela fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t} + C.
Portanto
t^{4}y = (t-1)e^{t} + C.

Passo 6

Isolar y:
y(t)=\frac{(t-1)e^{t}+C}{t^{4}}.
Agora aplico a condição inicial y(-1)=0. Substituo t=-1:
0 = y(-1) = \frac{(-1-1)e^{-1}+C}{(-1)^{4}} = \frac{-2e^{-1}+C}{1}.
Então
C=2e^{-1}=\frac{2}{e}.

Passo 7

Substituo C na expressão geral e simplifico:
y(t)=\frac{(t-1)e^{t}+\dfrac{2}{e}}{t^{4}}.
Se quiser escrever de modo levemente diferente:
y(t)=\frac{(t-1)e^{t}}{t^{4}}+\frac{2}{e\,t^{4}}.
Lembrete: essa solução vale no domínio t<0 (e, por extensão pelo cálculo, para qualquer t\neq0, mas o enunciado pediu t<0).

Resposta

y(t)=\frac{(t-1)e^{t}+\dfrac{2}{e}}{t^{4}},\quad t<0