Se t0 é o instante em que x(t0)=3 metros, determine o valor de |x^prime(t0)|. (Esse valor é o módulo da taxa instantânea de aproximação do bote em relação ao ancoradouro). Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, no instante $ t_0 $, a posição $ x(t_0) $ é de 3 metros. Precisamos encontrar o valor absoluto da derivada dessa posição em $ t_0 $, ou seja, $ |x’(t_0)| $. Isso está relacionado com a taxa instantânea de aproximação do bote em relação ao ancoradouro. Vamos precisar usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ x’(t) $. A derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $ nos dá a velocidade instantânea do bote. Ou seja, $ x’(t) $ mostra quão rápido a posição está mudando naquele instante.

Passo 3

Agora, precisamos calcular $ x’(t) $ no instante $ t_0 $. Para isso, geralmente temos uma função que descreve a posição do bote em função do tempo, $ x(t) $. Sem a expressão específica de $ x(t) $, não podemos calcular $ x’(t_0) $ numericamente, mas podemos descrever o processo.

Passo 4

Após termos a função $ x(t) $, derivamos em relação a $ t $ para encontrar $ x’(t) $. Em seguida, substituímos $ t $ por $ t_0 $ na derivada para obter $ x’(t_0) $.

Passo 5

Finalmente, tiramos o valor absoluto dessa derivada para encontrar $ |x’(t_0)| $. Esse valor representa a rapidez com que o bote está se aproximando ou afastando do ancoradouro naquele instante específico.

Resposta

Portanto, para determinar $ |x’(t_0)| $, precisamos conhecer a função $ x(t) $. Com ela, seguimos os passos de derivação e substituição para encontrar o valor desejado.

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