T2 A partícula de massa m é colocada na superfície cilíndrica de raio R em \theta=0. A partícula é então ligeiramente deslocada e liberada do repouso. Determine a velocidade escalar da partícula em função do ângulo \theta. Em que valor de \theta a partícula perde contato com a superfície? Despreze o atrito. Plano da figura = plano vertical.

Passo 1

O enunciado: partícula de massa m desliza sem atrito sobre superfície cilíndrica fixa de raio R, no plano vertical, partindo de repouso em \theta=0. Precisamos achar a velocidade escalar v em função de \theta e o ângulo em que a partícula perde contato. Vamos usar conservação de energia mecânica e equilíbrio de forças na direção radial (Lei de Newton).

Passo 2

Aplicando conservação de energia mecânica entre \theta=0 (início, velocidade nula) e ângulo genérico \theta, a variação de energia potencial gravitacional é
\Delta U = mgR(1 - \cos\theta),
que se transforma em energia cinética \tfrac12 m v^2. Logo,
\tfrac12 m v^2 = mgR(1 - \cos\theta).
Isolando v, obtemos
v(\theta) = \sqrt{2gR(1 - \cos\theta)}.

Passo 3

Para avaliar a força normal N, projetamos a segunda lei de Newton na direção radial (para o centro do cilindro). A aceleração centrípeta é a_r = v^2/R. As forças com componente radial são o peso mg\cos\theta (em direção ao centro) e a normal N (de fora para dentro com sinal negativo). Assim,
mg\cos\theta - N = m \frac{v^2}{R},
logo
N = mg\cos\theta - m\frac{v^2}{R}.

Passo 4

A partícula perde contato quando N=0. Da equação acima,
mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R}.
Substituindo v^2 de conservação de energia,
gR\cos\theta = 2gR(1 - \cos\theta) \quad\Longrightarrow\quad 2(1 - \cos\theta) = \cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \tfrac23.
Portanto,
\theta_{\rm contato} = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac23\bigr).

Resposta

v(\theta) = \sqrt{2gR(1 - \cos\theta)}.
A perda de contato ocorre em \theta = \operatorname{arccos}\left(\frac{2}{3}\right).

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