T2 A partícula de massa
é colocada na superfície cilíndrica de raio
em
. A partícula é então ligeiramente deslocada e liberada do repouso. Determine a velocidade escalar da partícula em função do ângulo
. Em que valor de
a partícula perde contato com a superfície? Despreze o atrito. Plano da figura
plano vertical.
Passo 1
O enunciado: partícula de massa
desliza sem atrito sobre superfície cilíndrica fixa de raio
, no plano vertical, partindo de repouso em
. Precisamos achar a velocidade escalar
em função de
e o ângulo em que a partícula perde contato. Vamos usar conservação de energia mecânica e equilíbrio de forças na direção radial (Lei de Newton).
Passo 2
Aplicando conservação de energia mecânica entre
(início, velocidade nula) e ângulo genérico
, a variação de energia potencial gravitacional é
que se transforma em energia cinética
. Logo,
Isolando
, obtemos
Passo 3
Para avaliar a força normal
, projetamos a segunda lei de Newton na direção radial (para o centro do cilindro). A aceleração centrípeta é
. As forças com componente radial são o peso
(em direção ao centro) e a normal
(de fora para dentro com sinal negativo). Assim,
logo
Passo 4
A partícula perde contato quando
. Da equação acima,
Substituindo
de conservação de energia,
Portanto,
Resposta
A perda de contato ocorre em
.