T3 O cursor de peso W=m g desliza, sem atrito, ao longo de um arco circular de raio R. A mola ideal fixada ao cursor tem comprimento livre L_{0}=R e rigidez k. Quando o cursor deslizante se mover de A para B, calcule ( a ) o trabalho realizado pela mola; e ( b ) o trabalho realizado pelo peso. Plano da figura = plano vertical.

Passo 1

O enunciado descreve um cursor de peso W=mg que desliza sem atrito ao longo de um arco circular de raio R. Uma mola ideal, presa a um ponto fixo, tem comprimento livre L_0=R e rigidez k, e está ligada ao cursor. Ao deslocar o cursor de A para B, queremos calcular (a) o trabalho realizado pela mola e (b) o trabalho realizado pelo peso. Usaremos a definição de trabalho
W = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}
e as coordenadas cartesianas para decompor forças e deslocamentos.

Passo 2

Cálculo do trabalho realizado pela mola. A força elástica tem módulo
F_s = k\,(L - L_0),
onde L é o comprimento instantâneo da mola. Como o cursor move-se sempre sobre a circunferência de raio R e L_0=R, temos
L - L_0 = R - R = 0
e portanto F_s=0. Além disso, mesmo que houvesse força radial, o deslocamento é puramente tangencial, o que faz \mathbf{F}_s\perp d\mathbf{s}. Logo
W_{\text{mola}} = 0.

Passo 3

Cálculo do trabalho realizado pelo peso. A força peso é
\mathbf{F}_g = -mg\,\mathbf{j}.
O trabalho é
W_{\text{peso}} = \int_A^B \mathbf{F}_g\cdot d\mathbf{s} = -mg \int_A^B dy = mg\,(y_A - y_B).
Na posição A a altura é y_A=0 e em B é y_B=-R, logo
y_A - y_B = R
e
W_{\text{peso}} = mg\,R.

Resposta

(a) W_{\text{mola}} = 0.
(b) W_{\text{peso}} = mgR.

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