A tabela abaixo foi copiada do website da Receita Federal, e traz as alíquotas do imposto de renda de pessoa física retido na fonte para o exercício de 2013:
Base de cálculo mensal em R$ Alíquota % Parcela a deduzir do imposto em R$
Até 1.637,11 - -
De 1.637,12 até 2.453,50 7,5 122,78
De 2.453,51 até 3.271,38 15,0 306,80
De 3.271,39 até 4.087,65 22,5 552,15
Acima de 4.087,65 27,5 756,53
A base de cálculo é dada pelo salário mensal, com certas deduções, como dependentes e contribuição previdenciária. Abstraindo estes e outros detalhes, o imposto devido é calculado tomando a base de cálculo mensal, verificando a faixa na qual ela se encontra, aplicando a alíquota correspondente, e reduzindo o valor final da parcela a deduzir.
Por exemplo, se a base de cálculo é de \mathrm{R} \ 10.000,00 , a alíquota é deíé27,5 % , ou seja,\mathrm{R} $2750,00 . Deduzimos\mathrm{R} $ 756,53 da parcela e assim obteremos como resultado o valor igual a\mathrm{R} $1993,47$ de imposto devido.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com as faixas da base de cálculo mensal (salário com deduções) e, para cada faixa, a alíquota percentual e a parcela a deduzir do imposto. A tarefa que vou resolver (assumida a partir do enunciado) é: construir uma fórmula (função) que, dada a base de cálculo mensal b, calcule o imposto retido na fonte.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (copiadas da tabela):
\begin{array}{lcl} \text{Até }1.637,11 &:& \text{isento (sem imposto)}\\[4pt] \text{De }1.637,12 \text{ até }2.453,50 &:& \text{alíquota }7,5\%,\;\text{parcela a deduzir }122,78\\[4pt] \text{De }2.453,51 \text{ até }3.271,38 &:& \text{alíquota }15,0\%,\;\text{parcela a deduzir }306,80\\[4pt] \text{De }3.271,39 \text{ até }4.087,65 &:& \text{alíquota }22,5\%,\;\text{parcela a deduzir }552,15\\[4pt] \text{Acima de }4.087,65 &:& \text{alíquota }27,5\%,\;\text{parcela a deduzir }756,53 \end{array}ééíéíéíí
A regra de cálculo descrita no enunciado é: para a faixa em que b se encontra, multiplica-se b pela alíquota correspondente e subtrai-se a parcela a deduzir. O objetivo é expressar isso como uma função matemática que dê o imposto devido para qualquer b.]

Passo 2

Entender a fórmula simples por trás da tabela (aula rápida e prática). Cada faixa usa a mesma forma:
\text{imposto} = (\text{alíquota})\times b - (\text{parcela a deduzir}).í
O que é alíquota em forma útil para cálculo? A alíquota dada em porcentagem precisa ser convertida para número decimal: por exemplo, 7{,}5\% vira 0{,}075; 15{,}0\% vira 0{,}15; 22{,}5\% vira 0{,}225; 27{,}5\% vira 0{,}275. Sempre que você vir uma porcentagem p\%, converta para decimal fazendo \frac{p}{100}.
Observação prática para a prova: calcule a multiplicação da alíquota por b e depois faça a subtração da parcela; no caderno, faça as contas com atenção aos centavos e, no final, arredonde para centavos se necessário (o imposto é expresso em reais e centavos).

Passo 3

Construção passo a passo das expressões em cada faixa. Vou escrever, para cada faixa, a expressão correspondente (convertendo as porcentagens para decimais):
  • Faixa isenta (até \,1.637,11): o imposto é zero:
\text{imposto}=0.
  • Faixa \,1.637,12 até \,2.453,50: alíquota 7{,}5\%=0{,}075, parcela a deduzir 122,78. Logo:
\text{imposto}=0{,}075\,b-122,78.
  • Faixa \,2.453,51 até \,3.271,38: alíquota 15{,}0\%=0{,}15, parcela 306,80. Logo:
\text{imposto}=0{,}15\,b-306,80.
  • Faixa \,3.271,39 até \,4.087,65: alíquota 22{,}5\%=0{,}225, parcela 552,15. Logo:
\text{imposto}=0{,}225\,b-552,15.
  • Faixa acima de \,4.087,65: alíquota 27{,}5\%=0{,}275, parcela 756,53. Logo:
\text{imposto}=0{,}275\,b-756,53.
Essas são exatamente as expressões que implementam a regra dada na tabela. Na prova, basta identificar a faixa onde b está e aplicar a expressão correspondente.

Passo 4

Exemplo prático (validação com o exemplo do enunciado). Se b=\text{R\$ }10.000,00, usamos a última faixa com alíquota 0{,}275 e parcela 756,53. Calculamos passo a passo:
0{,}275\times 10.000,00 = 2.750,00.
Subtraindo a parcela:
2.750,00-756,53 = 1.993,47.
Portanto o imposto devido é \text{R\$ }1.993,47, exatamente o exemplo dado no enunciado — bom sinal, a fórmula está correta.

Passo 5

Observação sobre continuidade e arredondamento (dica de prova). Se você avaliar as expressões nas fronteiras das faixas (por exemplo em b=2.453,50 usando a faixa anterior e em b=2.453,51 usando a próxima faixa) vai notar que, teoricamente, as fórmulas foram montadas para que não haja saltos grandes; pequenas diferenças podem aparecer por causa do arredondamento de centavos (as parcelas a deduzir são números com centavos). Na prática, a receita considera centavos e normalmente faz o arredondamento final do imposto para dois decimais. Então, para a prova: use as fórmulas e arredonde o resultado para centavos no final.

Passo 6

Resumo prático para usar na prova (passos que você deve fazer rápido):
  1. Identifique em qual faixa \,b está.
  2. Converta a alíquota percentual para decimal (divida por 100).
  3. Calcule (\text{alíquota em decimal})\times bí.
  4. Subtraia a parcela a deduzir.
  5. Arredonde o resultado para centavos.
    Isso te garante a resposta correta de forma rápida e repetível.

Resposta

T(b)= \begin{cases} 0, & b\le 1.637,11,\\[4pt] 0{,}075\,b-122,78, & 1.637,12\le b\le 2.453,50,\\[4pt] 0{,}15\,b-306,80, & 2.453,51\le b\le 3.271,38,\\[4pt] 0{,}225\,b-552,15, & 3.271,39\le b\le 4.087,65,\\[4pt] 0{,}275\,b-756,53, & b>4.087,65. \end{cases}]

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