Na tabela seguinte, são mostrados os dados experimentais, de tempo t(s) e corrente I(mu A) para um processo de carga de um capacitor C em série com um resistor R=148,2 times 10^3 Omega e uma bateria de varepsilon=10,0 V. Determine a equação para a linha reta que oferece o melhor ajuste dos dados. Isto é ln (I)=alpha t+beta, com as respectivas unidades de alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dados de tempo $ t $ (em segundos) e corrente $ I $ (em microampères) para o processo de carga de um capacitor $ C $ em um circuito com um resistor de resistência $ R = 148,2 \times 10^{3} , \Omega $ e uma bateria com tensão $ \varepsilon = 10,0 , \mathrm{V} $. Nosso objetivo aqui é determinar a equação da linha reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, na forma $ \ln(I) = \alpha t + \beta $, além de encontrar as unidades de $ \alpha $ e $ \beta $.
Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente a relação entre tensão, corrente e resistência, além de aplicar regressão linear para ajustar os dados na forma linear desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve a corrente $ I $ no circuito durante a carga do capacitor. A corrente decai exponencialmente com o tempo, e a equação é dada por:
I
Aqui, $ \varepsilon $ é a tensão da bateria, $ R $ é a resistência, $ C $ é a capacitância do capacitor, e $ t $ é o tempo.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa relação para uma forma linear. Para isso, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
ln(I(t)) = ln(varepsilonR) - tRC
Rearranjando, temos:
ln(I) = -1RC cdot t + ln(varepsilonR)
Comparando com a forma $ \ln(I) = \alpha t + \beta $, identificamos que:
ln(I) = alpha t + beta

Passo 4

Agora, vamos determinar as unidades de $ \alpha $ e $ \beta $.
Para $ \alpha $:
Sabemos que $ \alpha = -\frac{1}{RC} $.
  • $ R $ tem unidades de ohm ($ \Omega $).
  • $ C $ tem unidades de farad ($ \mathrm{F} $).
  • Portanto, $ RC $ tem unidades de segundos ($ s $).
Assim, $ \alpha $ terá unidades de $ \frac{1}{s} $ (recíproco de segundos), ou $ \mathrm{s}^{-1} $.
Para $ \beta $:
$ \beta = \ln\left(\frac{\varepsilon}{R}\right) $.
Dentro do logaritmo natural, o argumento deve ser adimensional. Vamos verificar as unidades:
  • $ \varepsilon $ tem unidades de volts ($ \mathrm{V} $).
  • $ R $ tem unidades de ohm ($ \Omega $).
  • Sabemos que $ \mathrm{V} / \Omega = \mathrm{A} $ (ampères).
Portanto, para que $ \frac{\varepsilon}{R} $ seja adimensional, estamos implicitamente considerando a corrente $ I $ em relação ao seu valor inicial $ \frac{\varepsilon}{R} $. Assim, $ \beta $ é um número adimensional (sem unidades).

Resposta

A equação da linha reta que melhor ajusta os dados é:
ln(I) = -1RC cdot t + ln(varepsilonR)
onde:
  • $ \alpha = -\frac{1}{RC} $ tem unidade de $ \mathrm{s}^{-1} $,
  • $ \beta = \ln\left(\frac{\varepsilon}{R}\right) $ é adimensional.

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