Na tabela seguinte, são mostrados os dados experimentais, de tempo
e corrente
para um processo de carga de um capacitor
em série com um resistor
e uma bateria de
. Determine a equação para a linha reta que oferece o melhor ajuste dos dados. Isto é
, com as respectivas unidades de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dados de tempo $ t $ (em segundos) e corrente $ I $ (em microampères) para o processo de carga de um capacitor $ C $ em um circuito com um resistor de resistência $ R = 148,2 \times 10^{3} , \Omega $ e uma bateria com tensão $ \varepsilon = 10,0 , \mathrm{V} $. Nosso objetivo aqui é determinar a equação da linha reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, na forma $ \ln(I) = \alpha t + \beta $, além de encontrar as unidades de $ \alpha $ e $ \beta $.
Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente a relação entre tensão, corrente e resistência, além de aplicar regressão linear para ajustar os dados na forma linear desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve a corrente $ I $ no circuito durante a carga do capacitor. A corrente decai exponencialmente com o tempo, e a equação é dada por:
Aqui, $ \varepsilon $ é a tensão da bateria, $ R $ é a resistência, $ C $ é a capacitância do capacitor, e $ t $ é o tempo.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa relação para uma forma linear. Para isso, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Rearranjando, temos:
Comparando com a forma $ \ln(I) = \alpha t + \beta $, identificamos que:
Passo 4
Agora, vamos determinar as unidades de $ \alpha $ e $ \beta $.
Para $ \alpha $:
Sabemos que $ \alpha = -\frac{1}{RC} $.
- $ R $ tem unidades de ohm ($ \Omega $).
- $ C $ tem unidades de farad ($ \mathrm{F} $).
- Portanto, $ RC $ tem unidades de segundos ($ s $).
Assim, $ \alpha $ terá unidades de $ \frac{1}{s} $ (recíproco de segundos), ou $ \mathrm{s}^{-1} $.
Para $ \beta $:
$ \beta = \ln\left(\frac{\varepsilon}{R}\right) $.
Dentro do logaritmo natural, o argumento deve ser adimensional. Vamos verificar as unidades:
- $ \varepsilon $ tem unidades de volts ($ \mathrm{V} $).
- $ R $ tem unidades de ohm ($ \Omega $).
- Sabemos que $ \mathrm{V} / \Omega = \mathrm{A} $ (ampères).
Portanto, para que $ \frac{\varepsilon}{R} $ seja adimensional, estamos implicitamente considerando a corrente $ I $ em relação ao seu valor inicial $ \frac{\varepsilon}{R} $. Assim, $ \beta $ é um número adimensional (sem unidades).
Resposta
A equação da linha reta que melhor ajusta os dados é:
onde:
- $ \alpha = -\frac{1}{RC} $ tem unidade de $ \mathrm{s}^{-1} $,
- $ \beta = \ln\left(\frac{\varepsilon}{R}\right) $ é adimensional.