Qual é a tangente do ângulo agudo formado pelas retas 3 x+2 y+2=0 e -x+2 y+5=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para a gente encontrar a tangente do ângulo agudo formado pelas retas e . A matéria que estamos lidando aqui é a geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas. Para isso, vamos precisar determinar as inclinações (ou coeficientes angulares) das retas e usar uma fórmula que relaciona essas inclinações com a tangente do ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular de cada reta. Lembra que a equação de uma reta na forma nos dá diretamente o coeficiente angular . Vamos rearranjar as equações das retas para essa forma.

Passo 3

Para a primeira reta 2y = -3x - 2 y = -32x - 1 :
Então, o coeficiente angular é .

Passo 4

Para a segunda reta 2y = x - 5 y = 12x - 52 :
Então, o coeficiente angular é .

Passo 5

Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas, podemos usar a fórmula para encontrar a tangente do ângulo tan theta = | m2 - m11 + m1 m2 | entre elas:

Passo 6

Substituindo os valores que encontramos:
tan theta = | 12 - (-32)1 + (-32) (12) | = | 12 + 321 - 34 | = | 214 | = | 8 | = 8

Resposta

A tangente do ângulo agudo formado pelas retas é .

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