Um tanque cilíndrico está sendo projetado para uma pressão interna de 12 MPa , com um fator de segurança 2,0 em relação ao escoamento. A tensão de escoamento do seu material é de 300 MPa em tração e 180 MPa em cisalhamento. Se o diâmetro do tanque for 150 mm , qual será a espessura de parede exigida?

Passo 1

Primeiro vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do desespero (tô contigo!).
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • Pressão interna: p = 12\\ \text{MPa}.
    • Fator de segurança em relação ao escoamento: \text{FS} = 2{,}0.
    • Tensão de escoamento em tração: \sigma_y = 300\\ \text{MPa}.
    • Tensão de escoamento em cisalhamento: \tau_y = 180\\ \text{MPa}.
    • Diâmetro do tanque: d = 150\\ \text{mm}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a espessura de parede exigida t (em mm) para o tanque projetado.

Passo 2

Entender as tensões num cilindro fino sujeito a pressão interna (aulas básicas de resistência dos materiais, explicando com calma).
  • Para um cilindro fino (espessura pequena em comparação com o raio) de paredes submetido a pressão interna, aparecem duas tensões principais (normais):
    • tensão circunferencial (hoop, ou tangencial) \sigma_\theta,
    • tensão longitudinal (axial) \sigma_\ell.
As fórmulas clássicas (para casca de parede fina) são:
\sigma_\theta=\frac{p\,d}{2t}, \qquad \sigma_\ell=\frac{p\,d}{4t}.
Onde:
  • p é a pressão interna,
  • d é o diâmetro externo do cilindro,
  • t é a espessura da parede (o que queremos achar).
    Explicação rápida: a circunferencial é o dobro da longitudinal porque a geometria faz a parede “sentir” mais esforço em torno da circunferência.

Passo 3

Escolher a teoria de escoamento (por que usar von Mises aqui).
  • O enunciado pede fator de segurança em relação ao escoamento (yield). Como as tensões principais são biaxiais (duas tensões normais não-nulas) e não há cisalhamento principal devido à pressão interna, a forma apropriada de verificar escoamento é usar um critério de escoamento para tensões multiaxiais.
  • Vou usar o critério de von Mises (critério das tensões de distorção), que é o mais usado para materiais dúcteis e para verificar escoamento sob estados biaxiais. Ele dá uma “tensão equivalente” \sigma_\text{eq} que compara-se com \sigma_y.
  • Observação sobre \tau_y (tensão de escoamento em cisalhamento) fornecida: neste caso particular, as tensões principais são normais (não há componentes de cisalhamento principais causadas apenas pela pressão interna), então a informação de \tau_y não é necessária para aplicar von Mises. Se o enunciado exigisse usar o critério de Tresca (baseado em cisalhamento máximo) poderíamos usar \tau_y, mas o critério de von Mises com \sigma_y é o mais apropriado e amplamente adotado — por isso o escolhi.

Passo 4

Escrever a expressão de von Mises para este caso e simplificar com as relações entre \sigma_\theta e \sigma_\ell.
  • Para um estado de tensões em placa (tensão principal \sigma_1=\sigma_\theta, \sigma_2=\sigma_\ell, \sigma_3=0), a tensão de von Mises é:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_3\sigma_1}.
  • Aqui \sigma_1=\sigma_\theta, \sigma_2=\sigma_\ell, \sigma_3=0. Substituindo:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\sigma_\theta^2+\sigma_\ell^2-\sigma_\theta\sigma_\ell}.
  • Usando \sigma_\ell=\tfrac{1}{2}\sigma_\theta (porque \sigma_\ell = p d/(4t) e \sigma_\theta = p d/(2t)), temos:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\sigma_\theta^2+\left(\tfrac{\sigma_\theta}{2}\right)^2-\sigma_\theta\cdot\frac{\sigma_\theta}{2}} =\sqrt{\sigma_\theta^2+\tfrac{\sigma_\theta^2}{4}-\tfrac{\sigma_\theta^2}{2}} =\sqrt{\tfrac{3}{4}\,\sigma_\theta^2} =\frac{\sqrt{3}}{2}\,\sigma_\theta.

Passo 5

Impor a condição de segurança (usar o fator de segurança).
  • Condição de projeto: a tensão equivalente deve ficar abaixo da tensão de escoamento dividida pelo fator de segurança:
\sigma_{\text{eq}}\le \frac{\sigma_y}{\text{FS}}.
  • Substituindo \sigma_{\text{eq}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sigma_\theta e \sigma_\theta=\dfrac{p d}{2t}:
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{p d}{2t}\le \frac{\sigma_y}{\text{FS}}.

Passo 6

Resolver algebricamente para t.
  • A desigualdade fica:
\frac{\sqrt{3}\,p d}{4t}\le \frac{\sigma_y}{\text{FS}}.
  • Isolando t:
t \ge \frac{\sqrt{3}\,p d\,\text{FS}}{4\,\sigma_y}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular (tudo em unidades compatíveis: usando d em mm e tensões em MPa, o resultado sai em mm).
  • Substituindo p=12\\ \text{MPa}, d=150\\ \text{mm}, \text{FS}=2{,}0, \sigma_y=300\\ \text{MPa}:
t \ge \frac{\sqrt{3}\cdot 12\cdot 150\cdot 2}{4\cdot 300}.
  • Simplificando numericamente (mostrando as contas passo a passo):
    • 12\cdot150\cdot2 = 3600.
    • 4\cdot300 = 1200.
    • Então t \ge \dfrac{\sqrt{3}\cdot 3600}{1200} = \sqrt{3}\cdot 3 = 3\sqrt{3}\\ \text{mm}.
  • Valor numérico:
t \ge 3\sqrt{3}\\ \text{mm}\approx 3\times 1{,}73205 = 5{,}196\\ \text{mm}.

Passo 8

Verificações e observações finais (pra você chegar tranquilo na prova).
  • Validação da hipótese parede fina: \displaystyle\frac{t}{r}=\frac{5{,}196}{75}\approx 0{,}069 (menos que 0{,}1), então a aproximação de casca de parede fina é aceitável.
  • Comparação rápida com verificação conservadora só com \sigma_\theta: se tivéssemos exigido \sigma_\theta\le \sigma_y/\text{FS} então \frac{p d}{2t}\le 150\\ \Rightarrow\\ t\ge \frac{12\cdot150}{2\cdot150}=6\\ \text{mm},que é mais conservador (daria 6\\ \text{mm} em vez de 5{,}196\\ \text{mm}). A diferença vem do uso do critério multiaxial (von Mises) que é menos conservador que checar apenas a maior tensão normal.
  • Sobre a \tau_y=180\\ \text{MPa} fornecida: ela não foi necessária para o critério de von Mises aqui porque o estado de tensão não tem componentes de cisalhamento principais. Se o enunciado quisesse aplicar o critério de Tresca baseado em cisalhamento máximo, usaríamos \tau_y, mas o critério de von Mises com \sigma_y é o mais apropriado para escoamento dúctil em estado biaxial de tensões.

Resposta

t \approx 5{,}20\\ \text{mm}

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