Um tanque cilíndrico está sendo projetado para uma pressão interna de 12 MPa , com um fator de segurança 2,0 em relação ao escoamento. A tensão de escoamento do seu material é de 300 MPa em tração e 180 MPa em cisalhamento. Se o diâmetro do tanque for 150 mm , qual será a espessura de parede exigida?
Passo 1
Primeiro vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do desespero (tô contigo!).
-
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Pressão interna:
. - Fator de segurança em relação ao escoamento:
. - Tensão de escoamento em tração:
. - Tensão de escoamento em cisalhamento:
. - Diâmetro do tanque:
.
- Pressão interna:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a espessura de parede exigida
(em mm) para o tanque projetado.
- Determinar a espessura de parede exigida
Passo 2
Entender as tensões num cilindro fino sujeito a pressão interna (aulas básicas de resistência dos materiais, explicando com calma).
- Para um cilindro fino (espessura pequena em comparação com o raio) de paredes submetido a pressão interna, aparecem duas tensões principais (normais):
- tensão circunferencial (hoop, ou tangencial)
, - tensão longitudinal (axial)
.
- tensão circunferencial (hoop, ou tangencial)
As fórmulas clássicas (para casca de parede fina) são:
Onde:
-
é a pressão interna, -
é o diâmetro externo do cilindro, -
é a espessura da parede (o que queremos achar).
Explicação rápida: a circunferencial é o dobro da longitudinal porque a geometria faz a parede “sentir” mais esforço em torno da circunferência.
Passo 3
Escolher a teoria de escoamento (por que usar von Mises aqui).
- O enunciado pede fator de segurança em relação ao escoamento (yield). Como as tensões principais são biaxiais (duas tensões normais não-nulas) e não há cisalhamento principal devido à pressão interna, a forma apropriada de verificar escoamento é usar um critério de escoamento para tensões multiaxiais.
- Vou usar o critério de von Mises (critério das tensões de distorção), que é o mais usado para materiais dúcteis e para verificar escoamento sob estados biaxiais. Ele dá uma “tensão equivalente”
que compara-se com . - Observação sobre
(tensão de escoamento em cisalhamento) fornecida: neste caso particular, as tensões principais são normais (não há componentes de cisalhamento principais causadas apenas pela pressão interna), então a informação de não é necessária para aplicar von Mises. Se o enunciado exigisse usar o critério de Tresca (baseado em cisalhamento máximo) poderíamos usar , mas o critério de von Mises com é o mais apropriado e amplamente adotado — por isso o escolhi.
Passo 4
Escrever a expressão de von Mises para este caso e simplificar com as relações entre
e
.
- Para um estado de tensões em placa (tensão principal
, , ), a tensão de von Mises é:
- Aqui
, , . Substituindo:
- Usando
(porque e ), temos:
Passo 5
Impor a condição de segurança (usar o fator de segurança).
- Condição de projeto: a tensão equivalente deve ficar abaixo da tensão de escoamento dividida pelo fator de segurança:
- Substituindo
e :
Passo 6
Resolver algebricamente para
.
- A desigualdade fica:
- Isolando
:
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular (tudo em unidades compatíveis: usando
em mm e tensões em MPa, o resultado sai em mm).
- Substituindo
, , , :
- Simplificando numericamente (mostrando as contas passo a passo):
-
. -
. - Então
-
- Valor numérico:
Passo 8
Verificações e observações finais (pra você chegar tranquilo na prova).
- Validação da hipótese parede fina:
(menos que ), então a aproximação de casca de parede fina é aceitável. - Comparação rápida com verificação conservadora só com
: se tivéssemos exigido então que é mais conservador (daria em vez de ). A diferença vem do uso do critério multiaxial (von Mises) que é menos conservador que checar apenas a maior tensão normal. - Sobre a
fornecida: ela não foi necessária para o critério de von Mises aqui porque o estado de tensão não tem componentes de cisalhamento principais. Se o enunciado quisesse aplicar o critério de Tresca baseado em cisalhamento máximo, usaríamos , mas o critério de von Mises com é o mais apropriado para escoamento dúctil em estado biaxial de tensões.