Dado o seguinte estado de deformação em um ponto,
OBS: N-> ultimo numero de matrícula
\mathrm{E}=\left[\begin{array}{ccc} 0,02 & 0,01 & 0 \\\\ 0,01 & -0,02 & 0,03 \\\\ 0 & 0,03 & 0,0 N \end{array}\right] \mathrm{m} / \mathrm{m}
Qual a distorção para os eixos tendo as direções:
\mathrm{n}_{1}=0,6 \mathbf{i}+0,8 \mathbf{j};
\mathrm{n}_{2}=0,4 \mathbf{i}-0,3 \mathbf{j}+0,866 \mathbf{k}
OBS: i, j, k são vetores unitários (versores) na direção x , y e z do sistema cartesiano de referência.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A matriz do tensor de deformação \mathrm{E} no ponto é (peguei os números do enunciado):
\mathrm{E}=\begin{pmatrix} 0,02 & 0,01 & 0 \\\\ 0,01 & -0,02 & 0,03 \\\\ 0 & 0,03 & 0,0N \end{pmatrix}\\ \mathrm{m}/\mathrm{m},
onde N é o último número da matrícula e aparece na componente \mathrm{E}_{33}=0,0N. Não foi fornecido o valor numérico de N, então vou manter \mathrm{E}_{33} como o símbolo 0,0N e obter a distorção em função de N.
  • As direções pedidas são vetores unitários (peguei os componentes do enunciado):
\mathrm{n}_1 = 0,6\,\mathbf{i}+0,8\,\mathbf{j}=(0,6,\,0,8,\,0),
\mathrm{n}_2 = 0,4\,\mathbf{i}-0,3\,\mathbf{j}+0,866\,\mathbf{k}=(0,4,\,-0,3,\,0,866).
  • O que o enunciado pede: “Qual a distorção para os eixos tendo as direções \mathrm{n}_1 e \mathrm{n}_2?”
    Interpreto “distorção” como a deformação normal ao longo de uma direção \mathrm{n}, que é dada pelo valor escalar \varepsilon_n (normal strain) nessa direção.

Passo 2

Apresento a fórmula que uso e explico por que ela é a apropriada.
  • Para um tensor de deformação simétrico \mathrm{E} e um vetor unitário \mathrm{n}, a deformação normal (distorção) na direção \mathrm{n} é dada por
\varepsilon_n=\mathrm{n}^\mathrm{T}\mathrm{E}\,\mathrm{n}.
Explicando essa fórmula de forma simples: \mathrm{n}^\mathrm{T}\mathrm{E}\,\mathrm{n} combina os componentes do tensor com os componentes de \mathrm{n} de modo a projetar a deformação na direção \mathrm{n}. Se escrevemos \mathrm{n}=(n_1,n_2,n_3) e adotamos a simetria \mathrm{E}_{ij}=\mathrm{E}_{ji}, então a expressão se expande como
\varepsilon_n = \mathrm{E}_{11}n_1^2 + 2\mathrm{E}_{12}n_1 n_2 + 2\mathrm{E}_{13}n_1 n_3 + \mathrm{E}_{22}n_2^2 + 2\mathrm{E}_{23}n_2 n_3 + \mathrm{E}_{33}n_3^2.
Cada termo tem um significado:
  • \mathrm{E}_{11}n_1^2 é a contribuição da deformação normal E_{11} vezes a parcela de \mathrm{n} na direção x;
  • os termos 2E_{ij}n_i n_j com i\neq j representam como as componentes de cisalhamento do tensor (os termos fora da diagonal) contribuem para a deformação na direção \mathrm{n}.
Vou usar essa expressão para calcular \varepsilon_{n_1} e \varepsilon_{n_2}.

Passo 3

Cálculo de \varepsilon_{n_1} (direção \mathrm{n}_1=(0,6,\,0,8,\,0)) — passo a passo e contando tudo.
Como n_{1,3}=0, os termos que envolvem n_3 (ou E_{13},E_{23},E_{33}) caem. Assim
\varepsilon_{n_1} = \mathrm{E}_{11}(0,6)^2 + 2\mathrm{E}_{12}(0,6)(0,8) + \mathrm{E}_{22}(0,8)^2.
Agora substituo os valores de \mathrm{E}:
\mathrm{E}_{11}=0,02,\quad \mathrm{E}_{12}=0,01,\quad \mathrm{E}_{22}=-0,02.
Calculo cada termo:
(0,6)^2 = 0,36,\qquad (0,8)^2 = 0,64,\qquad 2(0,6)(0,8)=2\cdot 0,48 = 0,96.
Então
\mathrm{E}_{11}(0,6)^2 = 0,02\cdot 0,36 = 0,0072,
2\mathrm{E}_{12}(0,6)(0,8) = 0,01\cdot 0,96 = 0,0096,
\mathrm{E}_{22}(0,8)^2 = -0,02\cdot 0,64 = -0,0128.
Somando:
\varepsilon_{n_1} = 0,0072 + 0,0096 - 0,0128 = 0,0040.
Portanto a distorção na direção \mathrm{n}_1 é \varepsilon_{n_1}=0,0040 (sem unidade, m/m).

Passo 4

Cálculo de \varepsilon_{n_2} (direção \mathrm{n}_2=(0,4,\,-0,3,\,0,866)) — passo a passo, mantendo \mathrm{E}_{33}=0,0N simbólico.
Usando a fórmula expandida:
\varepsilon_{n_2} = \mathrm{E}_{11}(0,4)^2 + 2\mathrm{E}_{12}(0,4)(-0,3) + 2\mathrm{E}_{13}(0,4)(0,866) + \mathrm{E}_{22}(-0,3)^2 + 2\mathrm{E}_{23}(-0,3)(0,866) + \mathrm{E}_{33}(0,866)^2.
Substituo os termos conhecidos e observo que \mathrm{E}_{13}=0 (portanto o termo com \mathrm{E}_{13} é zero):
\mathrm{E}_{11}=0,02,\quad \mathrm{E}_{12}=0,01,\quad \mathrm{E}_{13}=0,\quad \mathrm{E}_{22}=-0,02,\quad \mathrm{E}_{23}=0,03,\quad \mathrm{E}_{33}=0,0N.
Calculo os números elementares:
(0,4)^2 = 0,16,\qquad (-0,3)^2 = 0,09,\qquad (0,866)^2 = 0,749956\\ (\text{aprox.}).
2(0,4)(-0,3) = 2\cdot(-0,12) = -0,24,
2(-0,3)(0,866) = 2\cdot(-0,2598) = -0,5196.
Agora cada termo:
\mathrm{E}_{11}(0,4)^2 = 0,02\cdot 0,16 = 0,0032,
2\mathrm{E}_{12}(0,4)(-0,3) = 0,01\cdot(-0,24) = -0,0024,
\mathrm{E}_{22}(-0,3)^2 = -0,02\cdot 0,09 = -0,0018,
2\mathrm{E}_{23}(-0,3)(0,866) = 0,03\cdot(-0,5196) = -0,015588,
\mathrm{E}_{33}(0,866)^2 = (0,0N)\cdot 0,749956 = 0,749956\cdot(0,0N).
Somando os termos numéricos (os que não envolvem 0,0N):
0,0032 - 0,0024 - 0,0018 - 0,015588 = -0,016588.
Portanto, mantendo \mathrm{E}_{33}=0,0N simbólico, obtemos
\varepsilon_{n_2} = -0,016588 + 0,749956\cdot(0,0N).
Isto é: a distorção ao longo de \mathrm{n}_2 depende linearmente do dígito N que aparece em \mathrm{E}_{33}. Se quiser um valor numérico concreto para \varepsilon_{n_2}, basta substituir (0,0N) pelo valor numérico correspondente (por exemplo, se N=5 então \mathrm{E}_{33}=0,05 e o último termo seria 0,749956\cdot 0,05).

Passo 5

Resumo interpretativo e verificação rápida:
  • \varepsilon_{n_1}=0,0040 é positivo: significa extensão (dilatação) pequena na direção \mathrm{n}_1.
  • \varepsilon_{n_2} pode ser negativo ou positivo dependendo de \mathrm{E}_{33}=0,0N; a fórmula dada permite avaliar rapidamente trocando N.
Se quiser, eu já calculo \varepsilon_{n_2} para um valor específico de N (por exemplo N=0,1,2,\dots,9) — mas como não devo pedir nada, mantive a expressão em função de N.

Resposta

\varepsilon_{n_1}=0,0040
\varepsilon_{n_2}=-0,016588 + 0,749956\cdot(0,0N)

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