Qual a distorção para os eixos tendo as direções: \mathrm{n}_{1}=0,6 \mathbf{i}+0,8 \mathbf{j}; \mathrm{n}_{2}=0,4 \mathbf{i}-0,3 \mathbf{j}+0,866 \mathbf{k}
OBS: i, j, k são vetores unitários (versores) na direção x , y e z do sistema cartesiano de referência.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A matriz do tensor de deformação \mathrm{E} no ponto é (peguei os números do enunciado):
onde N é o último número da matrícula e aparece na componente \mathrm{E}_{33}=0,0N. Não foi fornecido o valor numérico de N, então vou manter \mathrm{E}_{33} como o símbolo 0,0N e obter a distorção em função de N.
As direções pedidas são vetores unitários (peguei os componentes do enunciado):
O que o enunciado pede: “Qual a distorção para os eixos tendo as direções \mathrm{n}_1 e \mathrm{n}_2?”
Interpreto “distorção” como a deformação normal ao longo de uma direção \mathrm{n}, que é dada pelo valor escalar \varepsilon_n (normal strain) nessa direção.
Passo 2
Apresento a fórmula que uso e explico por que ela é a apropriada.
Para um tensor de deformação simétrico \mathrm{E} e um vetor unitário \mathrm{n}, a deformação normal (distorção) na direção \mathrm{n} é dada por
Explicando essa fórmula de forma simples: \mathrm{n}^\mathrm{T}\mathrm{E}\,\mathrm{n} combina os componentes do tensor com os componentes de \mathrm{n} de modo a projetar a deformação na direção \mathrm{n}. Se escrevemos \mathrm{n}=(n_1,n_2,n_3) e adotamos a simetria \mathrm{E}_{ij}=\mathrm{E}_{ji}, então a expressão se expande como
\mathrm{E}_{11}n_1^2 é a contribuição da deformação normal E_{11} vezes a parcela de \mathrm{n} na direção x;
os termos 2E_{ij}n_i n_j com i\neq j representam como as componentes de cisalhamento do tensor (os termos fora da diagonal) contribuem para a deformação na direção \mathrm{n}.
Vou usar essa expressão para calcular \varepsilon_{n_1} e \varepsilon_{n_2}.
Passo 3
Cálculo de \varepsilon_{n_1} (direção \mathrm{n}_1=(0,6,\,0,8,\,0)) — passo a passo e contando tudo.
Como n_{1,3}=0, os termos que envolvem n_3 (ou E_{13},E_{23},E_{33}) caem. Assim
Isto é: a distorção ao longo de \mathrm{n}_2 depende linearmente do dígito N que aparece em \mathrm{E}_{33}. Se quiser um valor numérico concreto para \varepsilon_{n_2}, basta substituir (0,0N) pelo valor numérico correspondente (por exemplo, se N=5 então \mathrm{E}_{33}=0,05 e o último termo seria 0,749956\cdot 0,05).
Passo 5
Resumo interpretativo e verificação rápida:
\varepsilon_{n_1}=0,0040 é positivo: significa extensão (dilatação) pequena na direção \mathrm{n}_1.
\varepsilon_{n_2} pode ser negativo ou positivo dependendo de \mathrm{E}_{33}=0,0N; a fórmula dada permite avaliar rapidamente trocando N.
Se quiser, eu já calculo \varepsilon_{n_2} para um valor específico de N (por exemplo N=0,1,2,\dots,9) — mas como não devo pedir nada, mantive a expressão em função de N.