- Um tanque de ar comprimido tendo um diâmetro interno de
e uma espessura de parede de 6,35 mm é formado soldando-se dois hemisférios de aço.
a) Se a tensão admissível de tração no aço for
, qual é a máxima pressão interna do ar permitida
no tanque?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a máxima pressão interna permitida
no tanque, dado que a tensão admissível de tração no aço é
.
Informações fornecidas:
- Diâmetro interno do tanque:
. - Espessura da parede:
. - Tensão admissível (tracção):
. - O tanque é formado por dois hemisférios (ou seja, é um vaso esférico).
Passo 2
Explicação física e fórmula a usar (derivação por equilíbrio de forças, passo a passo).
- Considere um corte que separa a esfera em duas hemisférios. A pressão interna
age sobre a área projetada do hemisfério, que é um círculo de raio . A força resultante da pressão sobre esse círculo é
- Do lado do corte, as tensões membranares no material (assumindo parede delgada) geram uma força resistente ao longo da circunferência. A tensão tangencial no material é aproximadamente uniforme e igual a
. A área de seção transversal efetiva que resiste é a circunferência vezes a espessura, isto é . Multiplicando pela tensão obtém-se a força resistente:
- Equilibrando forças (pressão para fora equilibrada pela tração na parede):
- Simplificando essa igualdade (cancelando
em ambos os lados) obtemos a relação de projeto para uma esfera de parede delgada:
- Isolando
(que é o que queremos encontrar quando ):
Observação didática rápida: essa fórmula vale sob a hipótese de “casca delgada”, isto é, quando
é muito menor que
; nesse caso a tensão é aproximadamente uniforme através da espessura e comparece essa expressão simples.
Passo 3
Converter dados para unidades do SI e calcular o raio:
- Diâmetro
raio interno
- Espessura
- Tensão admissível
Passo 4
Substituir na fórmula e calcular passo a passo:
Substituindo números:
Calcule o numerador primeiro:
Agora divida pelo raio:
Convertendo para unidades comuns:
Passo 5
Verificação da hipótese de parede delgada:
Como
, a aproximação de casca delgada é válida e a fórmula usada é apropriada.