1. Um tanque de ar comprimido tendo um diâmetro interno de 457,2 \mathrm{~mm} e uma espessura de parede de 6,35 mm é formado soldando-se dois hemisférios de aço.
a) Se a tensão admissível de tração no aço for 96,5 \mathrm{MPa}, qual é a máxima pressão interna do ar permitida p no tanque?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a máxima pressão interna permitida p no tanque, dado que a tensão admissível de tração no aço é 96{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Informações fornecidas:
  • Diâmetro interno do tanque: D=457{,}2\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura da parede: t=6{,}35\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão admissível (tracção): \sigma_{\text{adm}}=96{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • O tanque é formado por dois hemisférios (ou seja, é um vaso esférico).

Passo 2

Explicação física e fórmula a usar (derivação por equilíbrio de forças, passo a passo).
  • Considere um corte que separa a esfera em duas hemisférios. A pressão interna p age sobre a área projetada do hemisfério, que é um círculo de raio r. A força resultante da pressão sobre esse círculo é
F_p = p \cdot \pi r^{2}.
  • Do lado do corte, as tensões membranares no material (assumindo parede delgada) geram uma força resistente ao longo da circunferência. A tensão tangencial no material é aproximadamente uniforme e igual a \sigma. A área de seção transversal efetiva que resiste é a circunferência vezes a espessura, isto é 2\pi r \cdot t. Multiplicando pela tensão obtém-se a força resistente:
F_{\text{res}} = \sigma \cdot (2\pi r\, t).
  • Equilibrando forças (pressão para fora equilibrada pela tração na parede):
p \pi r^{2} = \sigma \, (2\pi r\, t).
  • Simplificando essa igualdade (cancelando \pi r em ambos os lados) obtemos a relação de projeto para uma esfera de parede delgada:
\sigma = \dfrac{p r}{2 t}.
  • Isolando p (que é o que queremos encontrar quando \sigma=\sigma_{\text{adm}}):
p = \dfrac{2 t\, \sigma}{r}.
Observação didática rápida: essa fórmula vale sob a hipótese de “casca delgada”, isto é, quando t é muito menor que r; nesse caso a tensão é aproximadamente uniforme através da espessura e comparece essa expressão simples.

Passo 3

Converter dados para unidades do SI e calcular o raio:
  • Diâmetro D=457{,}2\\ \mathrm{mm}\Rightarrow raio interno
r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{457{,}2\\ \mathrm{mm}}{2}=228{,}6\\ \mathrm{mm}=0{,}2286\\ \mathrm{m}.
  • Espessura
t=6{,}35\\ \mathrm{mm}=0{,}00635\\ \mathrm{m}.
  • Tensão admissível
\sigma_{\text{adm}}=96{,}5\\ \mathrm{MPa}=96{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo:
p=\dfrac{2 t\, \sigma_{\text{adm}}}{r}.
Substituindo números:
p=\dfrac{2\cdot(0{,}00635\\ \mathrm{m})\cdot(96{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa})}{0{,}2286\\ \mathrm{m}}.
Calcule o numerador primeiro:
2\cdot0{,}00635=0{,}0127, \qquad 0{,}0127\cdot96{,}5\times10^{6}=1{,}22555\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Agora divida pelo raio:
p=\dfrac{1{,}22555\times10^{6}}{0{,}2286}\\ \mathrm{Pa}\approx 5{,}36\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para unidades comuns:
p\approx 5{,}36\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{ou }5360\\ \mathrm{kPa}).

Passo 5

Verificação da hipótese de parede delgada:
\dfrac{t}{r}=\dfrac{0{,}00635}{0{,}2286}\approx0{,}0278\approx2{,}78\%.
Como t/r\ll0{,}1, a aproximação de casca delgada é válida e a fórmula usada é apropriada.

Resposta

p_{\max}\approx5{,}36\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados