3.4 (a) Determine a máxima tensão de cisalhamento causada pelo torque \mathbf{T} de 40 kip • in. no eixo sólido de alumínio com 3 in. de diâmetro mostrado. (b) Resolva a parte a_{+}assumindo que o cixo sólido foi substituído por um eixo de mesmo diâmetro externo e 1 in de diâmetro interno.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Torque: T = 40\\ \text{kip}\cdot\text{in}. Vou usar que 1\\ \text{kip}=1000\\ \text{lb}, portanto T = 40\cdot1000 = 40000\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
    • Parte (a): eixo sólido com diâmetro externo d = 3\\ \text{in}.
    • Parte (b): eixo com diâmetro externo d_o = 3\\ \text{in} e diâmetro interno d_i = 1\\ \text{in}.
  • O que o exercício pede:
    • (a) determinar a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max} causada por T no eixo sólido.
    • (b) determinar \tau_{\max} quando o eixo é substituído por um tubo com d_o = 3\\ \text{in} e d_i = 1\\ \text{in}.

Passo 2

Apresentando a fórmula básica de torção e explicando cada termo.
  • Fórmula da tensão de cisalhamento máxima causada por um torque numa seção circular:
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (unidades de força·comprimento, aqui \text{lb}\cdot\text{in});
  • c é o raio externo da seção (metade do diâmetro), em polegadas;
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidades \text{in}^4).
  • Observação física importante: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície externa, por isso usamos c (o raio externo).
  • Fórmulas usuais para J em secções circulares:
    • eixo sólido de diâmetro d:
    J_{\text{sólido}}=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.ó
    • eixo tubular com diâmetro externo d_o e interno d_i:
    J_{\text{tubo}}=\dfrac{\pi\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)}{32}.
Explicação curta: essas expressões vêm da integração da distribuição de área ao redor do eixo (fórmula padrão em resistência dos materiais). Não é preciso decorar mais que isso para aplicar.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) — eixo sólido ( d=3\\ \text{in}).
  • Calcular J para o sólido:
J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}=\dfrac{\pi(3)^{4}}{32}=\dfrac{81\pi}{32}\\ \text{in}^{4}.
Podemos avaliar numericamente: 81/32=2{,}53125, então
J \approx 2{,}53125\pi \approx 7{,}954\\ \text{in}^{4}.
  • Raio externo c:
c=\dfrac{d}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\\ \text{in}.
  • Aplicar a fórmula da tensão:
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}=\dfrac{40000\cdot 1{,}5}{\dfrac{81\pi}{32}}.
Fazendo a conta passo a passo: 40000\cdot1{,}5=60000.
\tau_{\max}=\dfrac{60000}{\dfrac{81\pi}{32}}=\dfrac{60000\cdot 32}{81\pi}.
Avaliação numérica:
\tau_{\max}\approx \dfrac{60000}{7{,}954}\\ \text{psi}\approx 7546\\ \text{psi}.
Convertendo para ksi ( 1\\ \text{ksi}=1000\\ \text{psi}):
\tau_{\max}\approx 7{,}55\\ \text{ksi}.

Passo 4

Resolvendo a parte (b) — eixo tubular ( d_{o}=3\\ \text{in},\\ d_{i}=1\\ \text{in}).
  • Calcular J para o tubo:
J=\dfrac{\pi\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)}{32}=\dfrac{\pi\left(3^{4}-1^{4}\right)}{32}=\dfrac{\pi(81-1)}{32}=\dfrac{80\pi}{32}.
Simplificando 80/32=2{,}5, logo
J=\;2{,}5\pi\\ \text{in}^{4}\approx 7{,}854\\ \text{in}^{4}.
  • Raio externo continua sendo
c=\dfrac{d_{o}}{2}=1{,}5\\ \text{in}.
  • Aplicar a fórmula da tensão:
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}=\dfrac{40000\cdot1{,}5}{2{,}5\pi}.
Novamente 40000\cdot1{,}5=60000, então
\tau_{\max}=\dfrac{60000}{2{,}5\pi}=\dfrac{24000}{\pi}\\ \text{psi}\approx 7639\\ \text{psi}.
Em ksi:
\tau_{\max}\approx 7{,}64\\ \text{ksi}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: retirar o núcleo de 1 in de diâmetro (transformar o eixo em tubo) reduziu um pouco o momento polar J (de \approx 7{,}954 para \approx 7{,}854\\ \text{in}^4), o que aumentou ligeiramente a tensão de cisalhamento (de \approx 7{,}55\\ \text{ksi} para \approx 7{,}64\\ \text{ksi}). É um aumento pequeno porque o núcleo interno tinha pouco efeito no d^4. Bom trabalho por chegar até aqui — isso é exatamente o tipo de conta que costuma cair na prova!

Resposta

(a) \tau_{\max}\approx 7{,}55\\ \text{ksi} \;(\approx 7546\\ \text{psi})
(b) \tau_{\max}\approx 7{,}64\\ \text{ksi} \;(\approx 7639\\ \text{psi})

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