- Um tanque contém inicialmente 100 litros de água fresca. Despeja-se então água contendo
de sal por litro no tanque, em uma taxa de 2 litros por minuto, e deixa-se a mistura escoar na mesma taxa. Após 10 minutos, interrompe-se o processo e adiciona-se água fresca numa taxa de 2 litros por minuto, com escoamento da mistura à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque ao fim de 20 minutos.
Passo 1
O enunciado é um problema de mistura com volume constante (
L). Inicialmente não há sal (
). De
a
min entra solução com concentração de
kg/L a
L/min e sai mistura à mesma vazão; de
a
min entra água pura a
L/min e sai mistura à mesma vazão. Vamos modelar
, a massa de sal em kg, por meio de equações diferenciais em cada fase.
Passo 2
Na primeira fase (
), temos volume
L, vazão de entrada
L/min com concentração
kg/L, e vazão de saída
L/min. Então
Passo 3
Essa é uma EDO linear:
O estado estacionário é
. A solução geral é
Usando
dá
. Logo
Em
min temos
Passo 4
Na segunda fase (
) entra água pura (
), só saída de sal pela mesma vazão, então
Isso dá decaimento exponencial a partir de
:
Em
(
)
Resposta
A quantidade de sal no tanque ao fim de
min é aproximadamente
kg.