2.2.3 Exercícios
Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
(a)
e^{2 t}, \quad e^{-3 t / 2} . Resp:
-\frac{7}{2} e^{t / 2} .
(b)
\cos t , sen
t . Resp: 1 .
(c)
e^{-2 t}, t e^{-2 t} \cdot \operatorname{Resp}: e^{-4 t} .
(d)
e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t} \cos t . Resp:
-e^{2 t} .
(e)
\cos ^{2} \theta, \quad 1+\cos 2 \theta . Resp: 0 .
Verifique que
y_{1}(t)=t^{2} e
y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial
t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para
t>0 . Então mostre que
y(t)=c_{1} t^{2}+c_{2} t^{-1} é também uma solução desta equação para quaisquer
c_{1} e
c_{2} .
Mostre que
y(x)=c_{1} sen
x+c_{2} \cos x é uma solução geral de
y^{\prime \prime}+y=0 em algum intervalo . A seguir, ache a solução do PVI para o qual
y(0)=2 e
y^{\prime}(0)=3 . Resp:
y=3 \operatorname{sen} x+2 \cos x .
Verifique que
y_{1}=1 e
y_{2}=x^{1 / 2} são soluções de
y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0 , para
x>0 . Mostrar então que
c_{1}+c_{2} x^{1 / 2} não é em geral solução desta equação. Por que não? Isso contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções para equações lineares de segunda ordem? Resp: A equação não é linear.
Se o wronskiano W de
f e
g é
3 e^{4 x} e
f(x)=e^{2 x} , ache
g(x) . Resp:
3 x e^{2 x}+c e^{2 x} .
Se o wronskiano W de
f e
g é
x^{2} e^{x} e
f(x)=x , ache
g(x) . Resp:
x e^{x}+c x .
Se
W(f, g) é o wronskiano de
f e
g e se
u=2 f-g e
v=f+2 g , ache o wronskiano
W(u, v) de
u e
v em termos do wronkiano
W(f, g) de
f e
g . Resp:
5 W(f, g) .
Se
W(f, g)=x \cos x-\operatorname{sen} x , e se
u=f+3 g e
v=f-g , ache o wronskiano
W(u, v) de
u e v. Resp:
-4(x \cos x-\operatorname{sen} x) .
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas
y_{1} e
y_{2} são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
(a)
y^{\prime \prime}+4 y=0, y_{1}(x)=\cos 2 x, y_{2}(x)=\operatorname{sen} 2 x . Resp: Sim.
(b)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=x e^{x} . Resp: Sim.
(c)
x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x} . Resp: Sim.
O wronkiano de duas funções é
W(x)=x \operatorname{sen}^{2} x . As duas funções são linearmente dependentes ou independentes? Justifique.
Resp: São linearmente independentes porque o wronkiano não se anula em todo ponto.
11. Ache o wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada sem resolvê-la.
(a)
x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0 . \operatorname{Resp}: c x^{2} e^{x} .
(b)
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-4\right) y=0 . Resp:
c / x
12. Mostre que se
p(x) é diferenciável e
p(x)>0 , então o wronskiano de duas soluções de
\left[p(x) y^{\prime}\right]^{\prime}+q(x) y=0 é
W(x)=c / p(x) , onde
c é uma constante.
13. Se
y_{1} e
y_{2} são duas soluções linearmente independentes de
x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+x e^{x} y=0 e se
W\left(y_{1}, y_{2}\right)(1)=2 , ache o valor de
W\left(y_{1}, y_{2}\right)(5) . Resp:
2 / 25
14. Se
y_{1} e
y_{2} são duas soluções linearmente independentes de
x^{2} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+(3+x) y=0 e se
W\left(y_{1}, y_{2}\right)(2)=3 , ache o valor de
W\left(y_{1}, y_{2}\right)(4) . Resp:
3 \sqrt{e} .
Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
(a)
e^{2 t}, \quad e^{-3 t / 2} . Resp:
-\frac{7}{2} e^{t / 2} .
(b)
\cos t , sen
t . Resp: 1 .
(c)
e^{-2 t}, t e^{-2 t} \cdot \operatorname{Resp}: e^{-4 t} .
(d)
e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t} \cos t . Resp:
-e^{2 t} .
(e)
\cos ^{2} \theta, \quad 1+\cos 2 \theta . Resp: 0 .
Verifique que
y_{1}(t)=t^{2} e
y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial
t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para
t>0 . Então mostre que
y(t)=c_{1} t^{2}+c_{2} t^{-1} é também uma solução desta equação para quaisquer
c_{1} e
c_{2} .
Mostre que
y(x)=c_{1} sen
x+c_{2} \cos x é uma solução geral de
y^{\prime \prime}+y=0 em algum intervalo . A seguir, ache a solução do PVI para o qual
y(0)=2 e
y^{\prime}(0)=3 . Resp:
y=3 \operatorname{sen} x+2 \cos x .
Verifique que
y_{1}=1 e
y_{2}=x^{1 / 2} são soluções de
y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0 , para
x>0 . Mostrar então que
c_{1}+c_{2} x^{1 / 2} não é em geral solução desta equação. Por que não? Isso contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções para equações lineares de segunda ordem? Resp: A equação não é linear.
Se o wronskiano W de
f e
g é
3 e^{4 x} e
f(x)=e^{2 x} , ache
g(x) . Resp:
3 x e^{2 x}+c e^{2 x} .
Se o wronskiano W de
f e
g é
x^{2} e^{x} e
f(x)=x , ache
g(x) . Resp:
x e^{x}+c x .
Se
W(f, g) é o wronskiano de
f e
g e se
u=2 f-g e
v=f+2 g , ache o wronskiano
W(u, v) de
u e
v em termos do wronkiano
W(f, g) de
f e
g . Resp:
5 W(f, g) .
Se
W(f, g)=x \cos x-\operatorname{sen} x , e se
u=f+3 g e
v=f-g , ache o wronskiano
W(u, v) de
u e v. Resp:
-4(x \cos x-\operatorname{sen} x) .
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas
y_{1} e
y_{2} são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
(a)
y^{\prime \prime}+4 y=0, y_{1}(x)=\cos 2 x, y_{2}(x)=\operatorname{sen} 2 x . Resp: Sim.
(b)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=x e^{x} . Resp: Sim.
(c)
x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x} . Resp: Sim.