1. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água fresca. Despeja-se então água contendo \frac{1}{2} \mathrm{~kg} de sal por litro no tanque, em uma taxa de 2 litros por minuto, e deixa-se a mistura escoar na mesma taxa. Após 10 minutos, interrompe-se o processo e adiciona-se água fresca numa taxa de 2 litros por minuto, com escoamento da mistura à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque ao fim de 20 minutos.

Passo 1

O enunciado é um problema de mistura com volume constante ( 100 L). Inicialmente não há sal ( S(0)=0). De t=0 a t=10 min entra solução com concentração de \tfrac12 kg/L a 2 L/min e sai mistura à mesma vazão; de t=10 a t=20 min entra água pura a 2 L/min e sai mistura à mesma vazão. Vamos modelar S(t), a massa de sal em kg, por meio de equações diferenciais em cada fase.

Passo 2

Na primeira fase ( 0\le t\le10), temos volume V=100 L, vazão de entrada r_{\text{in}}=2 L/min com concentração C_{\text{in}}=\tfrac12 kg/L, e vazão de saída r_{\text{out}}=2 L/min. Então
\frac{dS}{dt} = C_{\text{in}}\;r_{\text{in}} - \frac{S(t)}{V}\;r_{\text{out}} = 1 - 0,02\,S.

Passo 3

Essa é uma EDO linear:
\frac{dS}{dt} + 0,02\,S = 1.
O estado estacionário é S_p=1/0,02=50. A solução geral é
S(t)=50 + A e^{-0,02\,t}.
Usando S(0)=0 A=-50. Logo
S(t)=50\bigl(1 - e^{-0,02\,t}\bigr).
Em t=10 min temos
S(10)=50\bigl(1 - e^{-0,2}\bigr)\approx50\,(1 - 0,8187)\approx9,06\\ \text{kg}.

Passo 4

Na segunda fase ( 10\le t\le20) entra água pura ( C_{\text{in}}=0), só saída de sal pela mesma vazão, então
\frac{dS}{dt} = -0,02\,S.
Isso dá decaimento exponencial a partir de S(10):
S(t)=S(10)\,e^{-0,02\,(t-10)}.
Em t=20 ( t-10=10)
S(20)=9,06\;e^{-0,2}\approx9,06\times0,8187\approx7,42\\ \text{kg}.

Resposta

A quantidade de sal no tanque ao fim de 20 min é aproximadamente 7,42 kg.

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