Um tanque de
contém inicialmente ar a 1 bar e 300 K . O tanque deve ser esvaziado usando-se uma bomba de vácuo. Durante esta operação, será transferido calor através das paredes do tanque, de modo que a temperatura do ar no tanque será mantida em 300 K . Na saída da bomba de vácuo, a pressão do ar será de 1 bar. Admitindo-se que a bomba de vácuo é reversível e isotérmica (temperatura de entrada igual a temperatura de saída), e que o ar é um gás ideal, determine o trabalho total que será gasto para acionar a bomba de vácuo. Despreze efeitos de energia cinética e de energia potencial gravitacional. Considere que a bomba de vácuo não acumula massa nem energia.
Passo 1
Então, o problema diz o seguinte:
- Temos um tanque de 1 m³ cheio de ar ideal a 1 bar e 300 K.
- Queremos esvaziar o tanque com uma bomba de vácuo que funciona de forma reversível e isotérmica (300 K na entrada e na saída).
- Na saída da bomba o ar sai a 1 bar.
- Durante todo o processo o ar que fica no tanque permanece a 300 K (há troca de calor pelas paredes).
- Peça: descobrir o trabalho total que a gente precisa fornecer à bomba.
Conteúdo: termodinâmica de gases ideais, processo isotérmico reversível e integração de trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a massa inicial de ar no tanque. Pra isso usamos a equação do gás ideal:
Logo,
onde
-
, -
, -
, -
é a constante específica do ar (aprox. ).
Passo 3
Agora, cada pedacinho de massa
que sai do tanque é sugado pela bomba a pressão
(que vai variando de 1 bar até quase zero conforme esvaziamos) e comprimido isotermicamente até
.
O trabalho infinitesimal que a bomba faz nesse é:
O trabalho infinitesimal que a bomba faz nesse
Passo 4
Precisamos relacionar
à massa que resta no tanque. Como o tanque fica sempre isotérmico, vale:
Substituindo em
$$
W = \int_{0}^{m_0} R,T;\ln!\Bigl(\frac{P_{out},V}{R,T,m}\Bigr);dm.
$$
Passo 5
Fazendo a integral
e sabendo que
, vemos que
Então sobra
Mas
.
Resposta
O trabalho total necessário para acionar a bomba é
De forma simples: você gasta 100 kJ para esvaziar o tanque sob essas condições.