Um tanque de 1 m^3 contém inicialmente ar a 1 bar e 300 K . O tanque deve ser esvaziado usando-se uma bomba de vácuo. Durante esta operação, será transferido calor através das paredes do tanque, de modo que a temperatura do ar no tanque será mantida em 300 K . Na saída da bomba de vácuo, a pressão do ar será de 1 bar. Admitindo-se que a bomba de vácuo é reversível e isotérmica (temperatura de entrada igual a temperatura de saída), e que o ar é um gás ideal, determine o trabalho total que será gasto para acionar a bomba de vácuo. Despreze efeitos de energia cinética e de energia potencial gravitacional. Considere que a bomba de vácuo não acumula massa nem energia.

Passo 1

Então, o problema diz o seguinte:
  • Temos um tanque de 1 m³ cheio de ar ideal a 1 bar e 300 K.
  • Queremos esvaziar o tanque com uma bomba de vácuo que funciona de forma reversível e isotérmica (300 K na entrada e na saída).
  • Na saída da bomba o ar sai a 1 bar.
  • Durante todo o processo o ar que fica no tanque permanece a 300 K (há troca de calor pelas paredes).
  • Peça: descobrir o trabalho total que a gente precisa fornecer à bomba.
    Conteúdo: termodinâmica de gases ideais, processo isotérmico reversível e integração de trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a massa inicial de ar no tanque. Pra isso usamos a equação do gás ideal:
P,V = m,R,T
Logo,
m0 = P0,VR,T,,
onde
  • P0 = 1 bar=10^5 Pa,
  • V = 1 m^3,
  • T=300 K,
  • R é a constante específica do ar (aprox. R=287 J/(kg,K)).

Passo 3

Agora, cada pedacinho de massa dm que sai do tanque é sugado pela bomba a pressão Pint (que vai variando de 1 bar até quase zero conforme esvaziamos) e comprimido isotermicamente até Pout=1 bar.
O trabalho infinitesimal que a bomba faz nesse dm é:
dW = R,T,ln!l(PoutPintr),dm,

Passo 4

Precisamos relacionar Pint à massa que resta no tanque. Como o tanque fica sempre isotérmico, vale:
Pint,V = m,R,T Longrightarrow Pint = m,R,TV,
Substituindo em dW e integrando de m= m0 até m=0:
$$
W = \int_{0}^{m_0} R,T;\ln!\Bigl(\frac{P_{out},V}{R,T,m}\Bigr);dm.
$$

Passo 5

Fazendo a integral
integral0^m0ln!l(tfracAmr),dm = m0l[ln!l(tfracAm0r)+1r], com A=Pout,VR,T
e sabendo que m0=P0VRT, vemos que
ln!l(tfracAm0r) =ln!l(tfracPoutP0r) =ln(1)=0
Então sobra
W = R,T,m0;l[0+1r] = R,T,m0
Mas R,T,m0 = P0,V.

Resposta

O trabalho total necessário para acionar a bomba é
boxedW = P0,V = 1times10^5 Patimes1 m^3 = 1,0times10^5 J
De forma simples: você gasta 100 kJ para esvaziar o tanque sob essas condições.

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