1. Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
    a) Determine uma expressão para a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo t qualquer.
    b) A concentração do soluto no tanque aumenta ou diminui ao longo do tempo?
    c) Qual é a concentração do soluto quando tivermos 1000 litros de solução no tanque?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque que inicialmente contém 2000 L de solução com 40 kg de soluto. Entra solução a 1 L/min com concentração de 100 g/L (isto é, 0{,}1 kg/L) e sai mistura a 2 L/min. A mistura permanece homogênea.
Conteúdo: equação diferencial de tanques misturadores. Vamos determinar a quantidade de soluto Q(t) em kg e a concentração C(t)=Q(t)/V(t) em kg/L.

Passo 2

Primeiro achamos o volume V(t). Como entra a 1 L/min e sai a 2 L/min,
V'(t)=1-2=-1,
com V(0)=2000. Daí
V(t)=2000-t.
Agora modelamos a quantidade de soluto Q(t). A taxa de entrada de soluto é
1\;\text{L/min}\times 0{,}1\;\text{kg/L}=0{,}1\;\text{kg/min},
e a taxa de saída é a concentração atual vezes 2 L/min, ou seja
\frac{Q(t)}{V(t)}\times2.
Portanto a equação diferencial é
Q'(t)=0{,}1-\frac{2\,Q(t)}{2000-t}.

Passo 3

Reescrevendo em forma linear:
Q'(t)+\frac{2}{2000-t}\,Q(t)=0{,}1.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int\frac{2}{2000-t}\,dt\Bigr) =\exp\!\bigl(-2\ln(2000-t)\bigr)=(2000-t)^{-2}.
Multiplicando a equação por \mu(t) temos
\bigl(Q(t)(2000-t)^{-2}\bigr)' =0{,}1\,(2000-t)^{-2}.
Integrando em t,
Q(t)(2000-t)^{-2} =\int 0{,}1\,(2000-t)^{-2}\,dt =0{,}1\cdot\frac{1}{2000-t}+K.
Multiplicando por (2000-t)^2,
Q(t)=0{,}1\,(2000-t)+K\,(2000-t)^2.

Passo 4

Usamos a condição inicial Q(0)=40 kg:
40=0{,}1\cdot2000+K\cdot2000^2 \quad\Longrightarrow\quad 40=200+4\times10^{6}K \quad\Longrightarrow\quad K=-4\times10^{-5}.
Logo a quantidade de soluto é
Q(t)=0{,}1\,(2000-t)-4\times10^{-5}\,(2000-t)^2.

Passo 5

A concentração em kg por litro é
C(t)=\frac{Q(t)}{V(t)} =\frac{0{,}1\,(2000-t)-4\times10^{-5}\,(2000-t)^2}{2000-t}.
Podemos simplificar:
C(t)=0{,}1-4\times10^{-5}\,(2000-t).

Passo 6

Como a concentração de entrada é 0{,}1 kg/L e a concentração inicial no tanque é
\frac{40}{2000}=0{,}02\;\text{kg/L},
vemos que 0{,}1>0{,}02, então a concentração no tanque aumenta ao longo do tempo, aproximando-se de 0{,}1 kg/L.

Passo 7

Para encontrar a concentração quando restarem 1000 L, achamos t tal que V(t)=2000-t=1000, ou seja t=1000 min. Então
Q(1000)=0{,}1\cdot1000-4\times10^{-5}\cdot1000^2 =100-40=60\;\text{kg}.
E a concentração é
C(1000)=\frac{60}{1000}=0{,}06\;\text{kg/L},
ou seja 60 g/L.

Resposta

a) \displaystyle Q(t)=0,1\,(2000-t)-4\times10^{-5}\,(2000-t)^2 em kg \displaystyle C(t)=0,1-4\times10^{-5}\,(2000-t) em kg/L
b) A concentração aumenta ao longo do tempo.
c) Quando V=1000 L, a concentração é 0,06 kg/L (ou 60 g/L).

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