Mais tarde em nossos estudos de física encontraremos grandezas representadas por (A x B).C. Quaisquer que sejam os vetores
e
, prove que (
).
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos três vetores:
,
e
. Precisamos provar que o produto escalar entre o produto vetorial de
e
com
é igual ao produto escalar entre o produto vetorial de
e
com
. Ou seja, mostrar que:
Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial e do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular a ambos
e
. Já o produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) que mede a “projeção” de um vetor sobre o outro.
Passo 3
Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja:
No entanto, o produto vetorial não é comutativo, mas sim anticomutativo:
Passo 4
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Isso é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo, que pode ser representado pelo determinante da matriz formada pelos três vetores.
Passo 5
Agora, olhamos para o lado direito da igualdade:
Também é um produto misto, mas com a ordem dos vetores diferente.
Passo 6
Sabemos que, no produto misto, a troca de duas colunas do determinante inverte o sinal. Então, podemos reescrever:
Passo 7
Mas, observando o determinante, sabemos que trocar a ordem dos vetores na operação do produto misto não altera o valor absoluto, apenas o sinal. Portanto:
Resposta
Assim, provamos que: