Mais tarde em nossos estudos de física encontraremos grandezas representadas por (A x B).C. Quaisquer que sejam os vetores A, B e C, prove que ( A times B ). C =(C times B) A.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos três vetores: A, B e C. Precisamos provar que o produto escalar entre o produto vetorial de A e B com C é igual ao produto escalar entre o produto vetorial de C e B com A. Ou seja, mostrar que:
(A times B) cdot C = (C times B) cdot A
Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial e do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o produto vetorial A times B resulta em um vetor que é perpendicular a ambos A e B. Já o produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) que mede a “projeção” de um vetor sobre o outro.

Passo 3

Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja:
A cdot C = C cdot A
No entanto, o produto vetorial não é comutativo, mas sim anticomutativo:
A times B = -(B times A)

Passo 4

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
(A times B) cdot C
Isso é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo, que pode ser representado pelo determinante da matriz formada pelos três vetores.

Passo 5

Agora, olhamos para o lado direito da igualdade:
(C times B) cdot A
Também é um produto misto, mas com a ordem dos vetores diferente.

Passo 6

Sabemos que, no produto misto, a troca de duas colunas do determinante inverte o sinal. Então, podemos reescrever:
(C times B) cdot A = -(B times C) cdot A

Passo 7

Mas, observando o determinante, sabemos que trocar a ordem dos vetores na operação do produto misto não altera o valor absoluto, apenas o sinal. Portanto:
(A times B) cdot C = (C times B) cdot A

Resposta

Assim, provamos que:
(A times B) cdot C = (C times B) cdot A

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