Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. No regime de juros simples a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Porém no regime de juros compostos a taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período, pois trata-se de capitalização exponencial. Com base no texto e nos estudos de Matemática financeira, avalie as afirmações a seguir relacionadas ao regime de juros compostos:
I – Uma aplicação financeira rendeu 25% ao ano. Assim a taxa equivalente de retorno mensal será de 2,083% ao mês. I
I – Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias. Dessa maneira, a taxa equivalente de retorno em 360 dias será de 11,186%. II
I – Uma aplicação financeira rendeu 25% ao ano. Assim a taxa equivalente de retorno trimestral será de 5,737% a.t. É correto apenas o que se afirma em:
a. I.
b. II e III.
c. I e III.
d. II.
e. I e II.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre taxas equivalentes no contexto de juros compostos na Matemática Financeira. A ideia das taxas equivalentes é que, aplicadas ao mesmo capital e no mesmo período, elas geram o mesmo montante. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter uma taxa anual para taxas mensais ou trimestrais usando a média geométrica, que é a maneira correta no regime de juros compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação I: “Uma aplicação financeira rendeu 25% ao ano. Assim a taxa equivalente de retorno mensal será de 2,083% ao mês.”
Aqui, queremos converter uma taxa anual de 25% para uma taxa mensal equivalente. No regime de juros compostos, usamos a média geométrica. A fórmula para converter uma taxa anual $ i $ para uma taxa mensal $ j $ é:
i
Substituindo $ i = 0,25 $:
j
A afirmação diz que a taxa mensal é 2,083%, mas nosso cálculo mostrou aproximadamente 1,87%. Então, a afirmação I está incorreta.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias. Dessa maneira, a taxa equivalente de retorno em 360 dias será de 11,186%.”
Aqui, estamos lidando com taxas anuais baseadas em diferentes números de dias. Para converter a taxa, podemos usar a fórmula de equivalência de taxas:
i1 times t1t2 = i2
Onde:
  • $ i_1 = 0,1135 $ (11,35%)
  • $ t_1 = 365 $ dias
  • $ t_2 = 360 $ dias
Então,
i1 = 0,1135
A afirmação diz que a taxa equivalente é 11,186%, mas nosso cálculo deu aproximadamente 11,47%. Portanto, a afirmação II também está incorreta.

Passo 4

Por fim, a afirmação III: “Uma aplicação financeira rendeu 25% ao ano. Assim a taxa equivalente de retorno trimestral será de 5,737% a.t.”
Vamos converter a taxa anual de 25% para trimestral usando a média geométrica. A fórmula é:
(1 + i) = (1 + j)^4
Substituindo $ i = 0,25 $:
i = 0,25
Aqui, a afirmação diz exatamente 5,737%, que é o valor que encontramos. Portanto, a afirmação III está correta.

Resposta

c. I e III.

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