Técnica de integração: mudança de variáveis
(2) Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos ^{3}(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{3}(y)\,dy
usando mudança de variável. Vamos usar a identidade de redução de potência e depois fazer a substituição.

Passo 2

Usamos \cos^{3}(y)=\cos^{2}(y)\cos(y) e a identidade
\cos^{2}(y)=1-\sin^{2}(y),
então
\cos^{3}(y)\,dy=(1-\sin^{2}(y))\cos(y)\,dy.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\sin(y), \quad du=\cos(y)\,dy.
Quando y=0, u=\sin(0)=0.
Quando y=\tfrac{\pi}{6}, u=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12.

Passo 4

A integral fica em termos de u:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{3}(y)\,dy =\int_{0}^{\tfrac12}(1-u^{2})\,du =\Bigl[u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\tfrac12} =\frac12-\frac{1}{24} =\frac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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