Técnica de integração: mudança de variáveis
(2) Calcule:
\int_{-1}^{1} x^{3}\left(x^{2}+3\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1} x^{3}(x^{2}+3)^{10}\,dx
usando a técnica de mudança de variável.

Passo 2

Para aplicar a troca de variável, definimos
u = x^{2} + 3, \quad du = 2x\,dx
e escrevemos
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (u-3)\,\frac{du}{2}.
Substituindo na integral original, fica
\int_{-1}^{1} x^{3}(x^{2}+3)^{10}\,dx = \frac12 \int_{u(-1)=4}^{u(1)=4} (u-3)\,u^{10}\,du.

Passo 3

Note que os limites em u são iguais u(-1)=4 e u(1)=4, logo
\int_{4}^{4} (u^{11}-3u^{10})\,du = 0.
Portanto, a integral original vale zero.

Resposta

0

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