Como a temperatura afeta a concentração de vacâncias em um sólido?

Passo 1

O enunciado pergunta como a temperatura afeta a concentração de vacâncias em um sólido. O conteúdo envolve defeitos pontuais em cristais e termodinâmica estatística. Para resolver, vamos usar o conceito de energia livre de formação de vacâncias e a estatística de Boltzmann para obter a relação entre concentração de vacâncias e temperatura.

Passo 2

Em equilíbrio, a formação de cada vacância custa uma energia livre \Delta G_v, dada por
\Delta G_v = H_v - T\,S_v,
onde H_v é a entalpia de formação da vacância e S_v é a entropia de formação. A probabilidade de criar uma vacância obedece à estatística de Boltzmann, logo a fração de sítios vacantes c_v satisfaz
c_v = \exp\!\bigl(-\tfrac{\Delta G_v}{kT}\bigr),
sendo k a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.

Passo 3

Substituindo \Delta G_v na expressão acima, obtemos a lei de Arrhenius para vacâncias:
c_v = \exp\!\bigl(\tfrac{S_v}{k}\bigr)\,\exp\!\bigl(-\tfrac{H_v}{kT}\bigr).
Frequentemente definimos a constante pré-exponencial c_0 = \exp(S_v/k) e a energia de ativação Q_v = H_v, resultando em
c_v = c_0\,\exp\!\bigl(-\tfrac{Q_v}{kT}\bigr).

Passo 4

Para dar ideia numérica, tipicamente em metais Q_v\approx (1\text{ a }3)\,\text{eV}. Em temperatura ambiente T\approx300 K),
c_v\sim10^{-9}\text{ a }10^{-6},
já próximo ao ponto de fusão ( T\sim0{,}8\,T_\mathrm{f} chega-se a
c_v\sim10^{-4}\text{ a }10^{-3}.

Passo 5

Como \exp(-Q_v/kT) cresce muito rápido ao aumentar T, a concentração de vacâncias também cresce exponencialmente com a temperatura. Pequenas elevações de T resultam em aumentos significativos de c_v, o que influencia propriedades como difusão e deformação plástica do sólido.

Resposta

A concentração de vacâncias aumenta exponencialmente com a temperatura, segundo
c_v = c_0\,\exp\!\bigl(-\tfrac{Q_v}{kT}\bigr),
de modo que, quanto maior T, maior é c_v.

Exercícios relacionados