A temperatura média de uma região oscila ao longo do dia de acordo com a função T(t)=15+10 \cos \frac{\pi t}{12} onde t é o tempo em horas (com t=0 às 6h da manhã) e T(t) é a temperatura em graus Celsius. Determine:
d) a temperatura máxima atingida.

Passo 1

O enunciado nos dá a função da temperatura média ao longo do dia
T(t)=15+10\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right),
onde t é o tempo em horas e t=0 corresponde às 6h da manhã. A pergunta é: determinar a temperatura máxima atingida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está na forma T(t)=\text{nível médio} + \text{amplitude}\cdot\cos(\text{fase})íé.
  • O termo constante é 15.
  • A amplitude multiplicando o cosseno é 10.
  • O argumento do cosseno é \dfrac{\pi t}{12}.

Passo 2

Entendendo como obter o máximo de uma função do tipo a+b\cos(\cdot).
Uma propriedade básica da função cosseno é que para todo argumento vale
-1\le \cos(\theta)\le 1.
Isso significa que, se tivermos uma função da forma a+b\cos(\theta), seus valores possíveis estão entre a+b(-1)=a-b e a+b(1)=a+b. Ou seja:
  • valor máximo é a+b,
  • valor mínimo é a-b.
Aplicando isso à nossa função, identifique a=15 e b=10. Então o máximo possível de T(t) é
T_{\max}=15+10\cdot 1.

Passo 3

Calcule o valor numérico do máximo.
Substituindo:
T_{\max}=15+10=25.
A unidade é graus Celsius, portanto o máximo é 25^\circ\text{C}.
Também vale notar (apenas como comentário útil para a prova) quando isso ocorre: o cosseno atinge 1 quando o argumento é 2k\pi com k\in\mathbb{Z}. Assim,
\frac{\pi t}{12}=2k\pi \quad\Rightarrow\quad t=24k.
O menor t\ge0 é t=0, que corresponde às 6h da manhã; e o próximo máximo aparece em t=24 (6h do dia seguinte).

Resposta

25^\circ\text{C}