Temperaturas foram medidas em 11 estações meteorológicas em determinada localidade no mês de julho. A temperatura média nesta amostra foi 13,77 . Suponha o desvio padrão conhecido e igual a 0,5.
Encontre o tamanho da amostra para que a margem de erro ao estimar a temperatura média seja menor do que 0,2 graus.
Encontre o tamanho da amostra para que a margem de erro ao estimar a temperatura média seja menor do que 0,2 graus.
Passo 1
Então, a gente tem temperaturas medidas em 11 estações meteorológicas com uma média de 13,77°C e um desvio padrão conhecido de 0,5°C. A missão aqui é descobrir quantas medições precisamos fazer para que a margem de erro na estimativa da média seja menor que 0,2°C. Vamos usar algumas ideias de estatística, especialmente sobre como calcular a margem de erro na estimativa da média.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que é a margem de erro. Basicamente, ela nos diz quão perto nossa média amostral está da média verdadeira da população. A fórmula para calcular a margem de erro ($ E $) é:
Onde:
- $ z $ é o valor que a gente tira da tabela da distribuição normal de acordo com o nível de confiança que queremos.
- $ \sigma $ é o desvio padrão conhecido, que nesse caso é 0,5°C.
- $ n $ é o tamanho da amostra que a gente quer descobrir.
Passo 3
A gente quer que a margem de erro $ E $ seja menor que 0,2°C. Então, vamos montar a desigualdade:
Agora, precisamos descobrir $ n $, então vamos isolar essa variável na equação.
Passo 4
Vamos assumir que a gente quer um nível de confiança de 95%, que é o mais comum. Com isso, o valor de $ z $ correspondente é aproximadamente 1,96.
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos resolver para $ n $:
-
Primeiro, multiplica 1,96 por 0,5:
-
Agora, reescrevemos a equação:
-
Isolando $ \sqrt{n} $:
-
Elevando ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Resposta
Precisamos de pelo menos 25 medições na amostra para que a margem de erro na estimativa da temperatura média seja menor que 0,2°C.