O tempo, em horas, necessário para que um produto bioquímico atue é apresentado abaixo através de uma amostra:
0,21 2,71 2,12 2,81 3,30 0,15 0,54 3,12 0,80 1,76
1,14 0,16 0,31 0,91 0,18 0,04 1,16 2,16 1,48 0,63
(a) Calcule a média e a mediana usando os dados brutos. (1.0 ponto)
(b) Calcule a variância amostral e o desvio padrão amostral usando os dados brutos. (1.0 ponto)
(c) Construa uma tabela de distribuição de frequência com amplitude para cada intervalo de 0,5 horas, começando do zero. (1.0 ponto)
(d) Calcule a média e a mediana usando dos dados da tabela de distribuição de frequência construída no item (c). (1.0 ponto)
(e) Calcule a variância amostral e o desvio padrão amostral usando dos dados da tabela de distribuição de frequência construída no item (c). (1.0 ponto)
(f) Construa um gráfico adequado para a tabela de distribuição de frequência construída no item (c). (1.0 ponto)

Passo 1

Beleza, aqui vai um resumo da parada: temos 20 tempos (em horas) de um produto bioquímico e queremos trabalhar com estatística descritiva – média, mediana, variância, desvio padrão – primeiro usando os dados brutos e depois uma tabela de frequência com classes de amplitude 0,5 h (de 0 até pelo menos 3,5 h). Além disso, vamos aprender como montar essa tabela e desenhar um gráfico (histograma). Vamos precisar de:
• Fórmulas de média e mediana (simples e agrupadas)
• Fórmula da variância amostral e desvio padrão
• Noções de classes, frequências, pontos médios e interpolação para mediana em dados agrupados
• Como montar um histograma

Passo 2

Calcular a média dos dados brutos.
Teoria: a média aritmética é
bar x ;=;1nsumi=1^n xi
Somando os 20 valores dá sum xi =25,69. Como n=20:
bar x = 25,6920 = 1,2845;h

Passo 3

Calcular a mediana dos dados brutos.
Teoria: para n par, a mediana é a média dos elementos de posição n/2 e n/2+1 na lista ordenada.
Lista ordenada (20 valores):
0,04; 0,15; 0,16; 0,18; 0,21; 0,31; 0,54; 0,63; 0,80; 0,91; 1,14; …
As posições 10 e 11 são 0,91 e 1,14, então
Mediana = 0,91 + 1,142 = 1,025;h

Passo 4

Calcular variância e desvio padrão amostral dos dados brutos.
Teoria:
S^2 = 1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2, S = raizS^2
Computando sum (xi-bar x)^2approx22,338, temos
S^2 = 22,33820-1 approx 1,1752, S approx raiz1,1752 approx 1,084;h

Passo 5

Construir a tabela de distribuição de frequência (amplitude 0,5 h, de 0 a 3,5).
Teoria: classes [0,0,5),[0,5,1,0),dots,[3,0,3,5), frequência absoluta fi e ponto médio xi^*.
Lista de classe, fi e xi^*:
• [0,0,5): f=6, x^*=0,25
• [0,5,1,0): f=4, x^*=0,75
• [1,0,1,5): f=3, x^*=1,25
• [1,5,2,0): f=1, x^*=1,75
• [2,0,2,5): f=2, x^*=2,25
• [2,5,3,0): f=2, x^*=2,75
• [3,0,3,5): f=2, x^*=3,25
Total N=20.

Passo 6

Calcular média e mediana usando a tabela.
– Média agrupada:
bar xrm grp = sum fi,xi^*N = 6cdot0,25 + 4cdot0,75 + dots + 2cdot3,2520 = 26,5020 = 1,325;h
– Mediana agrupada (interpolação):
M = L + N2 - Frm antfrm med;h,
onde a “classe mediana” é a segunda [0,5,1,0) (cumulativa até ali é 6 e N/2=10), então
M = 0,5 + 10 - 64times0,5 = 1,0;h

Passo 7

Variância e desvio padrão pela tabela.
Teoria:
S^2rm grp = 1N-1sum fi,(xi^* - bar xrm grp)^2, Srm grp = raizS^2rm grp
Calculando sum fi(xi^*-bar xrm grp)^2approx21,6375,
S^2rm grp = 21,637519 approx 1,1399, Srm grpapproxraiz1,1399approx1,068;h

Passo 8

Construir o gráfico adequado:
Como a variável é contínua e temos classes, o jeito é um histograma com abas de largura 0,5 h e alturas proporcionais às frequências ( fi).

Resposta

a) Média (brutos) = 1,2845 h; Mediana (brutos) = 1,025 h
b) Variância amostral (brutos) ≈ 1,1752 h²; Desvio padrão ≈ 1,084 h
c) Tabela de frequência (classes de 0,5 h):
 [0,0,5):6; [0,5,1,0):4; [1,0,1,5):3; [1,5,2,0):1; [2,0,2,5):2; [2,5,3,0):2; [3,0,3,5):2
d) Média (agrupada) = 1,325 h; Mediana (agrupada) = 1,0 h
e) Variância (agrupada) ≈ 1,1399 h²; Desvio padrão ≈ 1,068 h
f) Gráfico: histograma com classes de 0,5 h e alturas iguais a fi.

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