Depois de um tempo muito longo, a chave
é aberta e a chave
é fechada. Neste instante, novamente se começa a contar o tempo a partir de
. Nessa nova situação, a expressão da corrente
é dada por
Faça uma análise do balanço de energia considerando as duas configurações do circuito.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um circuito com duas chaves, $ S_1 $ e $ S_2 $. Depois de um tempo bem longo, a chave $ S_1 $ é aberta e a chave $ S_2 $ é fechada. Nesse momento, o tempo é reiniciado para $ t = 0 $. A corrente no circuito nessa nova configuração é dada por:
O conteúdo principal aqui é o balanço de energia em circuitos elétricos que envolvem componentes como resistores e indutores. Para resolver, vamos precisar entender como a energia é armazenada e dissipada nesses componentes e como a fonte de tensão ($ \mathcal{E} $) contribui para isso.
Passo 2
Vamos visualizar as duas configurações do circuito:
-
Primeira configuração: Quando $ S_1 $ está fechada e $ S_2 $ está aberta. Nesse estado de equilíbrio após um longo tempo, a corrente no circuito é constante, e a energia está armazenada principalmente no indutor.
-
Segunda configuração: Quando $ S_1 $ é aberta e $ S_2 $ é fechada. Aqui, a corrente começa a decair conforme a expressão dada, indicando que a energia armazenada no indutor está sendo dissipada no resistor.
Passo 3
Energia na primeira configuração ($ S_1 $ fechado, $ S_2 $ aberto):
Quando $ S_1 $ está fechada por um longo tempo, o indutor se comporta como um curto-circuito (corrente constante). A energia armazenada no indutor ($ W $) é dada por:
Onde:
- $ L $ é a indutância.
- $ I $ é a corrente constante no circuito.
Teoria aplicada: A energia armazenada em um indutor é proporcional ao quadrado da corrente que passa por ele.
Passo 4
Energia na segunda configuração ($ S_1 $ aberta, $ S_2 $ fechada):
Quando $ S_1 $ é aberta e $ S_2 $ é fechada, a corrente começa a decair exponencialmente. A expressão da corrente é:
A energia dissipada no resistor ao longo do tempo ($ W_{dissipada} $) pode ser calculada integrando a potência dissipada:
Substituindo $ I(t) $:
Teoria aplicada: A potência dissipada em um resistor é $ P = I^2 R $. Integrando essa potência ao longo do tempo nos dá a energia total dissipada.
Passo 5
Agora, vamos comparar as energias:
- Energia armazenada no indutor inicialmente:
- Energia dissipada no resistor:
Observamos que a energia armazenada inicialmente no indutor é igual à energia dissipada no resistor durante a segunda configuração.
Resposta
Ao comparar as duas configurações do circuito, verificamos que toda a energia armazenada no indutor na primeira configuração ($ \frac{\mathcal{E}^2 L}{2 R^2} $) é totalmente dissipada no resistor na segunda configuração. Isso confirma o balanço de energia, onde a energia armazenada é igual à energia dissipada.