de qualquer estado inicial arbitrário x 0 para a origem em tempo mínimo. Os controles admissíveis são limitados por
|u(t)| \leq 1
e a é um número real positivo.
Passo 1
Temos o problema de tempo‐mínimo para o sistema
\dot x_{1}=x_{2},\quad \dot x_{2}=-a\,x_{2}+u,
com |u|\le1, partindo de um x(0)=x_{0} qualquer até x(T)=0 em tempo mínimo T.
Conteúdo: Princípio do Máximo de Pontryagin (PMP) para problemas de controle ótimo de tempo mínimo.
O que vamos usar: definição do Hamiltoniano, equações adjuntas, condição de maximização de Hamiltoniano e transversality H(T)=0.
Passo 2
Escrevemos o Hamiltoniano com \lambda_{0}=-1\) (normalização usual para tempo‐mínimo):
\[H=-1+\lambda_{1}\,x_{2}+\lambda_{2}(-a\,x_{2}+u).
Pelo PMP, a lei de controle maximiza H ponto a ponto. Como H é afim em u, temos
e k=\lambda_{1}\) é determinado implicitamente pelas condições iniciais \(x(0)=x_{0}\) e finais \(x(T)=0\).
Em particular, há no máximo um instante de troca de sinal de \(\lambda_{2}(t)\), logo o controle é do tipo
\[u(t)= \begin{cases} u_{1}=\pm1,&0\le t<t_{s},\\\ u_{2}=-u_{1},&t_{s}<t\le T, \end{cases}
com o tempo de comutação t_{s}\] dado pela solução de \(\lambda_{2}(t_{s})=0.
Resposta
A lei de controle ótimo de tempo mínimo é bang–bang