Tempo mínimo
2. Encontre a lei de controle para transferir o sistema
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t) \\\ & \dot{x}_{2}(t)=-a x_{2}(t)+u(t) \end{aligned}
de qualquer estado inicial arbitrário x 0 para a origem em tempo mínimo. Os controles admissíveis são limitados por
|u(t)| \leq 1
e a é um número real positivo.

Passo 1

Temos o problema de tempo‐mínimo para o sistema
\dot x_{1}=x_{2},\quad \dot x_{2}=-a\,x_{2}+u,
com |u|\le1, partindo de um x(0)=x_{0} qualquer até x(T)=0 em tempo mínimo T.
Conteúdo: Princípio do Máximo de Pontryagin (PMP) para problemas de controle ótimo de tempo mínimo.
O que vamos usar: definição do Hamiltoniano, equações adjuntas, condição de maximização de Hamiltoniano e transversality H(T)=0.

Passo 2

Escrevemos o Hamiltoniano com \lambda_{0}=-1\) (normalização usual para tempo‐mínimo): \[H=-1+\lambda_{1}\,x_{2}+\lambda_{2}(-a\,x_{2}+u).
Pelo PMP, a lei de controle maximiza H ponto a ponto. Como H é afim em u, temos
\frac{\partial H}{\partial u}=\lambda_{2}\quad\Longrightarrow\quad u^{*}(t)= \begin{cases} +1,&\lambda_{2}(t)>0,\\\\ -1,&\lambda_{2}(t)<0. \end{cases}
Isto mostra que o controle ótimo é sempre um bang–bang entre (\pm1].

Passo 3

As equações dos co‐estados são
\begin{cases} \dot\lambda_{1}=-\frac{\partial H}{\partial x_{1}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}(t)=k\quad(\text{constante}),\\\ \dot\lambda_{2}=-\frac{\partial H}{\partial x_{2}} =-\lambda_{1}+a\,\lambda_{2} =-k+a\,\lambda_{2}. \end{cases}
Resolvendo a EDO de \lambda_{2} (para trás no tempo, mas podemos escrever diretamente) obtemos
\lambda_{2}(t) =\Bigl(\lambda_{2}(T)-\tfrac{k}{a}\Bigr)\,e^{\,a(t-T)}+\frac{k}{a}.

Passo 4

Como o tempo final T é livre e o estado final é fixo em zero, há a condição de transversality
H(T)=0\quad\Longrightarrow\quad -1+\lambda_{2}(T)\,u(T)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{2}(T)\,u(T)=1.
Disto segue \lambda_{2}(T)=\pm1 e u(T)=\sign\bigl(\lambda_{2}(T)\bigr).

Passo 5

Resumo da lei de controle em forma fechada
u^{*}(t) =\sign\bigl(\lambda_{2}(t)\bigr),
onde
\lambda_{2}(t) =\Bigl(\pm1-\tfrac{k}{a}\Bigr)\,e^{\,a(t-T)}+\frac{k}{a},
e k=\lambda_{1}\) é determinado implicitamente pelas condições iniciais \(x(0)=x_{0}\) e finais \(x(T)=0\). Em particular, há no máximo um instante de troca de sinal de \(\lambda_{2}(t)\), logo o controle é do tipo \[u(t)= \begin{cases} u_{1}=\pm1,&0\le t<t_{s},\\\ u_{2}=-u_{1},&t_{s}<t\le T, \end{cases}
com o tempo de comutação t_{s}\] dado pela solução de \(\lambda_{2}(t_{s})=0.

Resposta

A lei de controle ótimo de tempo mínimo é bang–bang
u^{*}(t)= \begin{cases} +1,&\lambda_{2}(t)>0,\\\\ -1,&\lambda_{2}(t)<0, \end{cases}
onde \lambda_{2}(t) resolve
\dot\lambda_{2}=-k+a\,\lambda_{2},\quad \lambda_{2}(T)=\pm1,
e mudará de sinal exatamente uma vez.

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