O tempo de montagem de determinados conectores utiliza um processo já há algum tempo, que dura em média 3.5 segundos. Está sendo analisada a possibilidade de troca deste processo de montagem. Para esta análise foram observados os tempos de montagem de conectores por um operário padrão utilizando o novo processo e foram anotados os seguintes valores (em segundos): 2.5 2.5 2.6 3.0 3.2 3.5 3.73 .7 2.1 2.4 2.7 2.8 3.1
3.1 3.6 3.6 2.5 2.9 2.8 3.8. Considerando que o tempo de montagem em geral tem distribuição Normal com desvio padrão igual a 0.5 :
a) Estime o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo.
b) Encontre um intervalo de confiança
para o tempo médio de montagem.
c) Baseado no intervalo obtido em b) empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual?
3.1 3.6 3.6 2.5 2.9 2.8 3.8. Considerando que o tempo de montagem em geral tem distribuição Normal com desvio padrão igual a 0.5 :
a) Estime o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo.
b) Encontre um intervalo de confiança
c) Baseado no intervalo obtido em b) empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Estimar o tempo médio de montagem dos conectores com o novo processo.
- (b) Encontrar um intervalo de confiança de
para esse tempo médio. - (c) Decidir, com base no intervalo, se a empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual (o processo atual tem média conhecida de
segundos).
Informações fornecidas (dados observados, em segundos):
Observação sobre os dados: o enunciado continha um trecho ambiguo “3.73 .7”. Tomei a decisão (sem pedir nada a mais) de interpretá‑lo como duas observações
e
— isso resulta em
observações. Se essa interpretação estiver incorreta, os números finais mudariam um pouco; aqui eu explico e resolvo com essa hipótese.
Outras informações importantes dadas: a distribuição do tempo é Normal e o desvio padrão populacional é conhecido e igual a segundos.
Outras informações importantes dadas: a distribuição do tempo é Normal e o desvio padrão populacional é conhecido e igual a
Passo 2
Contando observações e calculando a média amostral passo a passo.
Primeiro verificamos o número de observações:
Agora somamos todas as observações para obter a soma total
. Agrupei as somas para evitar erro:
Primeiro bloco (10 primeiros):
Segundo bloco (10 seguintes):
Soma total:
A média amostral
é:
Interpretação prática: essa é a nossa melhor estimativa pontual para o tempo médio com o novo processo. Podemos arredondar para duas casas:
s.
Passo 3
Explicação do método de intervalo de confiança (didática, sem pular etapas).
Quando a variância/população tem desvio padrão conhecido (
conhecido) e os dados são normalmente distribuídos (ou
grande), o intervalo de confiança para a média
com nível de confiança
é dado por:
Aqui:
-
é a média amostral (o que calculamos), -
é o desvio padrão populacional conhecido, -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área central é . Para de confiança, e .
Por que usamos esse fórmula? Porque a estatística padronizada
é
quando os
vêm de uma Normal com desvio
. Reorganizando para
e isolando os limites, obtemos o intervalo acima. Não usamos a distribuição
porque
é conhecido.
Passo 4
Calculemos o erro-padrão e a margem de erro numérica.
Erro-padrão da média:
Calcule
, então
Margem de erro com
:
Agora o intervalo de confiança de
:
Calculando:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, o intervalo é aproximadamente
Passo 5
Interpretação do intervalo e decisão (didática e empática).
O intervalo de confiança de
nos diz: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo como esse a partir de cada amostra, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional
do tempo com o novo processo. Não é correto dizer que há
de probabilidade de que
esteja no intervalo já calculado (isso é uma leitura Bayesiana), mas para fins práticos da prova e da decisão empresarial essa interpretação operacional serve: o intervalo plausível para
é aproximadamente
s.
Comparando com a média do processo atual,
s:
- O limite superior do intervalo amostral é aproximadamente
s, que é menor do que s. - Isso significa que, com
de confiança, a verdadeira média com o novo processo está abaixo de s (ou seja, há evidência de que o novo processo é mais rápido).
Com isso, a recomendação prática é favorável à troca: os dados amostrais indicam que o novo processo reduz o tempo médio de montagem em comparação ao processo atual. (Se a empresa exige outros critérios — por exemplo, custo, qualidade, variabilidade — esses devem também ser considerados, mas estritamente em termos de tempo médio a evidência indica mudança.)
Força aí — você já viu o passo a passo completo: cálculo da média, erro-padrão, uso do quantil da Normal e interpretação final.
Resposta
(a)
(aproximadamente
s).
(b) Intervalo de confiança de :
.
(c) Deve mudar para o novo processo, pois o intervalo de confiança não contém s e indica redução do tempo médio.
(b) Intervalo de confiança de
(c) Deve mudar para o novo processo, pois o intervalo de confiança não contém