O tempo de montagem de determinados conectores utiliza um processo já há algum tempo, que dura em média 3.5 segundos. Está sendo analisada a possibilidade de troca deste processo de montagem. Para esta análise foram observados os tempos de montagem de conectores por um operário padrão utilizando o novo processo e foram anotados os seguintes valores (em segundos): 2.5 2.5 2.6 3.0 3.2 3.5 3.73 .7 2.1 2.4 2.7 2.8 3.1
3.1 3.6 3.6 2.5 2.9 2.8 3.8. Considerando que o tempo de montagem em geral tem distribuição Normal com desvio padrão igual a 0.5 :
a) Estime o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo.
b) Encontre um intervalo de confiança 95 \% para o tempo médio de montagem.
c) Baseado no intervalo obtido em b) empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Estimar o tempo médio de montagem dos conectores com o novo processo.
  • (b) Encontrar um intervalo de confiança de 95\% para esse tempo médio.
  • (c) Decidir, com base no intervalo, se a empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual (o processo atual tem média conhecida de 3{,}5 segundos).
Informações fornecidas (dados observados, em segundos):
2{,}5,\;2{,}5,\;2{,}6,\;3{,}0,\;3{,}2,\;3{,}5,\;3{,}73,\;3{,}7,\;2{,}1,\;2{,}4,
2{,}7,\;2{,}8,\;3{,}1,\;3{,}1,\;3{,}6,\;3{,}6,\;2{,}5,\;2{,}9,\;2{,}8,\;3{,}8.
Observação sobre os dados: o enunciado continha um trecho ambiguo “3.73 .7”. Tomei a decisão (sem pedir nada a mais) de interpretá‑lo como duas observações 3{,}73 e 3{,}7 — isso resulta em n=20 observações. Se essa interpretação estiver incorreta, os números finais mudariam um pouco; aqui eu explico e resolvo com essa hipótese.
Outras informações importantes dadas: a distribuição do tempo é Normal e o desvio padrão populacional é conhecido e igual a \sigma=0{,}5 segundos.

Passo 2

Contando observações e calculando a média amostral passo a passo.
Primeiro verificamos o número de observações:
n=20.
Agora somamos todas as observações para obter a soma total \sum x_i. Agrupei as somas para evitar erro:
Primeiro bloco (10 primeiros):
2{,}5+2{,}5+2{,}6+3{,}0+3{,}2+3{,}5+3{,}73+3{,}7+2{,}1+2{,}4=29{,}23.
Segundo bloco (10 seguintes):
2{,}7+2{,}8+3{,}1+3{,}1+3{,}6+3{,}6+2{,}5+2{,}9+2{,}8+3{,}8=30{,}90.
Soma total:
\sum x_i = 29{,}23 + 30{,}90 = 60{,}13.
A média amostral \bar{x} é:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{60{,}13}{20}=3{,}0065\\ \text{segundos}.
Interpretação prática: essa é a nossa melhor estimativa pontual para o tempo médio com o novo processo. Podemos arredondar para duas casas: \bar{x}\approx 3{,}01 s.

Passo 3

Explicação do método de intervalo de confiança (didática, sem pular etapas).
Quando a variância/população tem desvio padrão conhecido ( \sigma conhecido) e os dados são normalmente distribuídos (ou n grande), o intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por:
\bar{x} \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (o que calculamos),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido,
  • n é o tamanho da amostra,
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área central é 1-\alpha. Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e z_{0{,}975}=1{,}96.
Por que usamos esse fórmula? Porque a estatística padronizada
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
é \mathcal{N}(0,1) quando os X_i vêm de uma Normal com desvio \sigma. Reorganizando para \mu e isolando os limites, obtemos o intervalo acima. Não usamos a distribuição t porque \sigma é conhecido.

Passo 4

Calculemos o erro-padrão e a margem de erro numérica.
Erro-padrão da média:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}5}{\sqrt{20}}.
Calcule \sqrt{20}\approx 4{,}472135955, então
\text{SE}\approx\frac{0{,}5}{4{,}4721}=0{,}1118034\\ \text{segundos}.
Margem de erro com z_{0{,}975}=1{,}96:
\text{ME}=1{,}96\cdot\text{SE}\approx 1{,}96\cdot 0{,}1118034 \approx 0{,}21909\\ \text{segundos}.
Agora o intervalo de confiança de 95\%:
\left[\bar{x}-\text{ME},\;\bar{x}+\text{ME}\right] = \left[3{,}0065-0{,}21909,\;3{,}0065+0{,}21909\right].
Calculando:
\text{Limite inferior}\approx 2{,}7874,\qquad \text{Limite superior}\approx 3{,}2256.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, o intervalo é aproximadamente
(2{,}79,\;3{,}23)\\ \text{segundos}.

Passo 5

Interpretação do intervalo e decisão (didática e empática).
O intervalo de confiança de 95\% nos diz: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo como esse a partir de cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu do tempo com o novo processo. Não é correto dizer que há 95\% de probabilidade de que \mu esteja no intervalo já calculado (isso é uma leitura Bayesiana), mas para fins práticos da prova e da decisão empresarial essa interpretação operacional serve: o intervalo plausível para \mu é aproximadamente (2{,}79,\;3{,}23) s.
Comparando com a média do processo atual, 3{,}5 s:
  • O limite superior do intervalo amostral é aproximadamente 3{,}23 s, que é menor do que 3{,}5 s.
  • Isso significa que, com 95\% de confiança, a verdadeira média com o novo processo está abaixo de 3{,}5 s (ou seja, há evidência de que o novo processo é mais rápido).
Com isso, a recomendação prática é favorável à troca: os dados amostrais indicam que o novo processo reduz o tempo médio de montagem em comparação ao processo atual. (Se a empresa exige outros critérios — por exemplo, custo, qualidade, variabilidade — esses devem também ser considerados, mas estritamente em termos de tempo médio a evidência indica mudança.)
Força aí — você já viu o passo a passo completo: cálculo da média, erro-padrão, uso do quantil da Normal e interpretação final.

Resposta

(a) \bar{x}=3{,}0065\\ \text{segundos} (aproximadamente 3{,}01 s).
(b) Intervalo de confiança de 95\%: (2{,}79,\;3{,}23)\\ \text{segundos}.
(c) Deve mudar para o novo processo, pois o intervalo de confiança não contém 3{,}5 s e indica redução do tempo médio.