O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com o modelo Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos) tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
Cessar em até 10 minutos?

Passo 1

O enunciado informa que o tempo de ação X do medicamento segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo [5,15] minutos. Precisamos calcular a probabilidade de a dor cessar em até 10 minutos, isto é,
P(X \le 10).

Passo 2

Para uma variável aleatória X \sim \mathrm{Uniforme}(a,b), a função densidade de probabilidade é
f(x) = \frac{1}{b - a},\quad a \le x \le b,
e a função de distribuição acumulada (CDF) é
F(x) = P(X \le x) = \begin{cases} 0, & x < a,\\[6pt] \displaystyle\frac{x - a}{b - a}, & a \le x \le b,\\[6pt] 1, & x > b. \end{cases}]

Passo 3

No nosso caso, a = 5 e b = 15. Logo, para x entre 5 e 15 vale
F(x) = \frac{x - 5}{15 - 5} = \frac{x - 5}{10}.
Queremos P(X \le 10) = F(10).

Passo 4

Substituindo x = 10 na expressão de F(x), obtemos
P(X \le 10) = F(10) = \frac{10 - 5}{10} = \frac{5}{10} = 0,5.

Resposta

A probabilidade de a dor cessar em até 10 minutos é 0,5 (ou 50%).

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