Os tempos de reação, medidos em segundos, de 10 motoristas para se desviarem de um obstáculo que aparece repentinamente numa pista são os seguintes:
a) Determine a variância e o desvio-padrão dos tempos de reação.
b) O que aconteceria com a variância dos tempos de reação do item anterior, se todos os tempos sofressem um acréscimo de
?
c) E se fossem multiplicados por 3?
b) O que aconteceria com a variância dos tempos de reação do item anterior, se todos os tempos sofressem um acréscimo de
c) E se fossem multiplicados por 3?
Passo 1
O enunciado dá os tempos de reação (em segundos) de 10 motoristas:
As perguntas são:
a) Determinar a variância e o desvio-padrão dos tempos de reação.
b) O que acontece com a variância se todos os tempos aumentarem em ?
c) O que acontece com a variância se todos os tempos forem multiplicados por ?
a) Determinar a variância e o desvio-padrão dos tempos de reação.
b) O que acontece com a variância se todos os tempos aumentarem em
c) O que acontece com a variância se todos os tempos forem multiplicados por
Passo 2
Calcular a média aritmética (primeiro passo para variância). A média de um conjunto de
valores
é dada por
onde
é a média e
é o número de observações. Aqui
. Somando os tempos:
Logo a média é
Passo 3
Definição e diferença entre variância populacional e amostral (explicação didática).
- Variância populacional: se os dados representam toda a população, a variância é
onde
é a variância populacional,
são os dados,
a média e
o total de observações.
- Variância amostral (estimador não viciado): se os dados são uma amostra de uma população maior, costuma-se usar
onde
é a variância amostral. A diferença é o divisor:
(população) ou
(amostra).
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Como muitas provas pedem a variância/desvio como medidas descritivas simples, vou calcular ambas (populacional e amostral) e explicar as relações nas partes seguintes.
Passo 4
Calcular as diferenças
, seus quadrados e somar (mostrando passo a passo). Para cada observação:
Somando todos os quadrados das diferenças:
Passo 5
Calcular a variância populacional e o desvio-padrão populacional.
O desvio-padrão populacional é
(Arredondei para quatro casas decimais; para a prova, quatro casas já é preciso.)
Passo 6
Calcular a variância amostral e o desvio-padrão amostral.
O desvio-padrão amostral é
Passo 7
Responder (b): efeito de acrescentar uma constante
a todos os tempos. Propriedade importante (explique didaticamente): para qualquer constante
,
Isso ocorre porque a operação
desloca todos os valores e também desloca a média pelo mesmo
, de modo que as diferenças
não mudam. Portanto:
- A variância populacional continua sendo
e o desvio-padrão . - A variância amostral continua sendo
e o desvio-padrão .
Passo 8
Responder (c): efeito de multiplicar todos os tempos por
. Outra propriedade útil:
Portanto, ao multiplicar por
:
- Variância populacional nova:
. - Desvio-padrão populacional novo:
. - Variância amostral nova:
. - Desvio-padrão amostral novo:
.
Passo 9
Resumo prático e encorajamento rápido: os cálculos principais foram feitos a partir da média
e da soma dos quadrados das diferenças
. Lembre-se: somar uma constante não altera a variância; multiplicar por um fator multiplica a variância pelo quadrado desse fator e o desvio-padrão pelo próprio fator. Tá indo bem — isso aparece muito em prova e decorar essas propriedades economiza tempo.
Resposta
a) variância (populacional)
, desvio-padrão (populacional)
a) variância (amostral) , desvio-padrão (amostral)
b) variância inalterada: (pop.),
(amostral) — o acréscimo de
não muda a variância.
c) variância multiplicada por :
(pop.),
(amostral); desvios-padrão multiplicados por
:
,
.
a) variância (amostral)
b) variância inalterada:
c) variância multiplicada por