Os tempos de reação, medidos em segundos, de 10 motoristas para se desviarem de um obstáculo que aparece repentinamente numa pista são os seguintes:
\begin{array}{llllllllll} 2,1 & 2,5 & 2,7 & 2,3 & 2,4 & 2,0 & 2,7 & 3,0 & 1,4 & 2,4 \end{array}
a) Determine a variância e o desvio-padrão dos tempos de reação.
b) O que aconteceria com a variância dos tempos de reação do item anterior, se todos os tempos sofressem um acréscimo de 0,5 \mathrm{~s} ?
c) E se fossem multiplicados por 3?

Passo 1

O enunciado dá os tempos de reação (em segundos) de 10 motoristas:
\begin{array}{llllllllll} 2,1 & 2,5 & 2,7 & 2,3 & 2,4 & 2,0 & 2,7 & 3,0 & 1,4 & 2,4 \end{array}
As perguntas são:
a) Determinar a variância e o desvio-padrão dos tempos de reação.
b) O que acontece com a variância se todos os tempos aumentarem em 0,5\\ \mathrm{s}?
c) O que acontece com a variância se todos os tempos forem multiplicados por 3?

Passo 2

Calcular a média aritmética (primeiro passo para variância). A média de um conjunto de n valores x_1,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações. Aqui n=10. Somando os tempos:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 2,1+2,5+2,7+2,3+2,4+2,0+2,7+3,0+1,4+2,4 = 23,5.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{23,5}{10}=2,35\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Definição e diferença entre variância populacional e amostral (explicação didática).
  • Variância populacional: se os dados representam toda a população, a variância é
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
onde \sigma^{2} é a variância populacional, x_i são os dados, \bar{x} a média e n o total de observações.
  • Variância amostral (estimador não viciado): se os dados são uma amostra de uma população maior, costuma-se usar
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
onde s^{2} é a variância amostral. A diferença é o divisor: n (população) ou n-1 (amostra).
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}},\qquad s=\sqrt{s^{2}}.
Como muitas provas pedem a variância/desvio como medidas descritivas simples, vou calcular ambas (populacional e amostral) e explicar as relações nas partes seguintes.

Passo 4

Calcular as diferenças x_i-\bar{x}, seus quadrados e somar (mostrando passo a passo). Para cada observação:
\begin{array}{ll} x_1=2,1: & (2,1-2,35)=-0,25,\quad (-0,25)^2=0,0625\\\ x_2=2,5: & (2,5-2,35)=0,15,\quad (0,15)^2=0,0225\\\ x_3=2,7: & (2,7-2,35)=0,35,\quad (0,35)^2=0,1225\\\ x_4=2,3: & (2,3-2,35)=-0,05,\quad (-0,05)^2=0,0025\\\ x_5=2,4: & (2,4-2,35)=0,05,\quad (0,05)^2=0,0025\\\ x_6=2,0: & (2,0-2,35)=-0,35,\quad (-0,35)^2=0,1225\\\ x_7=2,7: & (2,7-2,35)=0,35,\quad (0,35)^2=0,1225\\\ x_8=3,0: & (3,0-2,35)=0,65,\quad (0,65)^2=0,4225\\\ x_9=1,4: & (1,4-2,35)=-0,95,\quad (-0,95)^2=0,9025\\\ x_{10}=2,4:& (2,4-2,35)=0,05,\quad (0,05)^2=0,0025 \end{array}
Somando todos os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=0,0625+0,0225+0,1225+0,0025+0,0025+0,1225+0,1225+0,4225+0,9025+0,0025=1,7850.

Passo 5

Calcular a variância populacional e o desvio-padrão populacional.
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1,7850}{10}=0,1785.
O desvio-padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{0,1785}\approx0,4226\\ \mathrm{s}.
(Arredondei para quatro casas decimais; para a prova, quatro casas já é preciso.)

Passo 6

Calcular a variância amostral e o desvio-padrão amostral.
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1,7850}{9}\approx0,1983.
O desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0,1983}\approx0,4453\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Responder (b): efeito de acrescentar uma constante c=0,5\\ \mathrm{s} a todos os tempos. Propriedade importante (explique didaticamente): para qualquer constante c,
\mathrm{Var}(X+c)=\mathrm{Var}(X).
Isso ocorre porque a operação x_i\mapsto x_i+c desloca todos os valores e também desloca a média pelo mesmo c, de modo que as diferenças x_i-\bar{x} não mudam. Portanto:
  • A variância populacional continua sendo \sigma^{2}=0,1785 e o desvio-padrão \sigma\approx0,4226\\ \mathrm{s}.
  • A variância amostral continua sendo s^{2}\approx0,1983 e o desvio-padrão s\approx0,4453\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Responder (c): efeito de multiplicar todos os tempos por a=3. Outra propriedade útil:
\mathrm{Var}(aX)=a^{2}\mathrm{Var}(X), \qquad \text{e}\qquad \mathrm{SD}(aX)=|a|\:\mathrm{SD}(X).
Portanto, ao multiplicar por 3:
  • Variância populacional nova: \sigma^{2}_{\text{novo}}=3^{2}\cdot0,1785=9\cdot0,1785=1,6065.
  • Desvio-padrão populacional novo: \sigma_{\text{novo}}=3\cdot0,4226\approx1,2678\\ \mathrm{s}.
  • Variância amostral nova: s^{2}_{\text{novo}}=9\cdot0,1983\approx1,7850.
  • Desvio-padrão amostral novo: s_{\text{novo}}=3\cdot0,4453\approx1,3359\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Resumo prático e encorajamento rápido: os cálculos principais foram feitos a partir da média \bar{x}=2,35 e da soma dos quadrados das diferenças 1,7850. Lembre-se: somar uma constante não altera a variância; multiplicar por um fator multiplica a variância pelo quadrado desse fator e o desvio-padrão pelo próprio fator. Tá indo bem — isso aparece muito em prova e decorar essas propriedades economiza tempo.

Resposta

a) variância (populacional) \sigma^{2}=0,1785, desvio-padrão (populacional) \sigma\approx0,4226\\ \mathrm{s}
a) variância (amostral) s^{2}\approx0,1983, desvio-padrão (amostral) s\approx0,4453\\ \mathrm{s}
b) variância inalterada: \sigma^{2}=0,1785 (pop.), s^{2}\approx0,1983 (amostral) — o acréscimo de 0,5\\ \mathrm{s} não muda a variância.
c) variância multiplicada por 9: \sigma^{2}_{\text{novo}}=1,6065 (pop.), s^{2}_{\text{novo}}\approx1,7850 (amostral); desvios-padrão multiplicados por 3: \sigma_{\text{novo}}\approx1,2678\\ \mathrm{s}, s_{\text{novo}}\approx1,3359\\ \mathrm{s}.