O teorema do trabalho-energia cinética vale também para partículas que estejam se movendo em alta velocidade. Qual o trabalho, em keV, necessário para acelerar um elétron a partir do repouso até uma velocidade de 0,500c?

Passo 1

O enunciado pergunta qual o trabalho necessário para levar um elétron do repouso até v=0,500\,c usando o teorema trabalho–energia cinética em regime relativístico. Para isso vamos usar que, na relatividade, o trabalho W aplicado a uma partícula é igual à variação de sua energia cinética
W = \Delta K = K_{\rm final} - K_{\rm inicial}
e que a energia cinética relativística é
K = (\gamma - 1)\,m c^2,
onde m é a massa de repouso da partícula e
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz para v=0,500\,c. Definindo \beta = v/c = 0{,}500,
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,500)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,25}} = \frac{1}{\sqrt{0,75}} \approx 1,1547.

Passo 3

Usar a fórmula da energia cinética relativística. Como o elétron parte do repouso, K_{\rm inicial}=0, e
W = \Delta K = (\gamma - 1)\,m_e c^2.
Sabendo que m_e c^2 = 511\:\text{keV},
W = (1,1547 - 1)\times 511\:\text{keV} \approx 0,1547 \times 511\:\text{keV} \approx 79{,}1\:\text{keV}.

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente 79{,}1\:\text{keV}.

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