Teorema do valor intermediário. Considere a função
f(x)=x^{4}-3 x^{2}-2 x-1 .
Mostre que existe um ponto c \in[0,2] tal que f(x)=-4 [dica: os pontos 0 e 2 não ajudam muito…].

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que existe um ponto c\in[0,2] tal que f\text{(c)}=-4, onde
f(x)=x^4 - 3x^2 - 2x - 1.
Como f é um polinômio, ela é contínua em [0,2]. Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), basta encontrar a,b\in[0,2] tais que f(a) e f(b) fiquem de lados opostos de -4.

Passo 2

Calculamos
f(0)=0^4-3\cdot0^2-2\cdot0-1=-1> -4
e
f(2)=2^4-3\cdot2^2-2\cdot2-1=16-12-4-1=-1> -4.
Ou seja, em 0 e em 2 a função está acima de -4, então esses pontos não são úteis.

Passo 3

Experimentamos x=1:
f(1)=1^4-3\cdot1^2-2\cdot1-1=1-3-2-1=-5< -4.

Passo 4

Agora, em [0,1] temos
f(0)=-1> -4 \quad\text{e}\quad f(1)=-5< -4.
Como f é contínua, o TVI garante que existe c\in(0,1)\subset[0,2] tal que
f\text{(c)}=-4.

Resposta

Existe c\in[0,2] (de fato em (0,1)) tal que f\text{(c)}=-4, conforme assegurado pelo Teorema do Valor Intermediário.

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