Os teores de umidade (%) encontrados em 20 amostras de argamassa foram:
Dados: 8,12,9,10,11,13,8,9,12,10,11,14,9,10,12,11,13,10,9,11.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequência simples (absoluta e relativa).
b) Determine a frequência acumulada absoluta e identifique quantas amostras têm teor de umidade inferior ou igual a 10%.
c) Qual é o teor de umidade mais frequente?

Passo 1

O enunciado dá os teores de umidade (%) em 20 amostras e pede três coisas. Os dados fornecidos são:
\;8,12,9,10,11,13,8,9,12,10,11,14,9,10,12,11,13,10,9,11.
As perguntas são:
  1. Construa uma tabela de distribuição de frequência simples com frequência absoluta e frequência relativa.
  2. Determine a frequência acumulada absoluta e identifique quantas amostras têm teor de umidade inferior ou igual a 10\%.
  3. Qual é o teor de umidade mais frequente?

Passo 2

O que é preciso fazer e as fórmulas que vamos usar:
  • Frequência absoluta: para cada valor x_i contar quantas vezes ele aparece; denotar por f_i.
  • Frequência relativa: proporção das observações com aquele valor. Para amostra total n usamos a fórmula
h_i=\frac{f_i}{n}.
Aqui n=20.
  • Frequência acumulada absoluta até um valor x_i: soma das frequências absolutas dos valores menores ou iguais a x_i. Denotar por F_i=\sum_{k\le i} f_k.
Vou aplicar isso passo a passo contando cada valor distinto presente nos dados.

Passo 3

Listar os valores distintos em ordem crescente e contar (frequência absoluta f_i):
  • Para x=8: aparece duas vezes, logo f_{8}=2.
  • Para x=9: aparece quatro vezes, logo f_{9}=4.
  • Para x=10: aparece quatro vezes, logo f_{10}=4.
  • Para x=11: aparece quatro vezes, logo f_{11}=4.
  • Para x=12: aparece três vezes, logo f_{12}=3.
  • Para x=13: aparece duas vezes, logo f_{13}=2.
  • Para x=14: aparece uma vez, logo f_{14}=1.
Verificação da soma das frequências:
\sum f_i = 2+4+4+4+3+2+1 = 20 = n,
confirmando que a contagem está consistente.

Passo 4

Calcular as frequências relativas usando h_i=\dfrac{f_i}{n} com n=20. Também apresentar em porcentagem multiplicando por 100\%.
  • Para x=8:
h_{8}=\frac{2}{20}=0{,}10=10\%.
  • Para x=9:
h_{9}=\frac{4}{20}=0{,}20=20\%.
  • Para x=10:
h_{10}=\frac{4}{20}=0{,}20=20\%.
  • Para x=11:
h_{11}=\frac{4}{20}=0{,}20=20\%.
  • Para x=12:
h_{12}=\frac{3}{20}=0{,}15=15\%.
  • Para x=13:
h_{13}=\frac{2}{20}=0{,}10=10\%.
  • Para x=14:
h_{14}=\frac{1}{20}=0{,}05=5\%.

Passo 5

Construir a frequência acumulada absoluta F_i somando progressivamente as frequências absolutas:
  • F_{8}=f_{8}=2.
  • F_{9}=f_{8}+f_{9}=2+4=6.
  • F_{10}=F_{9}+f_{10}=6+4=10.
  • F_{11}=F_{10}+f_{11}=10+4=14.
  • F_{12}=F_{11}+f_{12}=14+3=17.
  • F_{13}=F_{12}+f_{13}=17+2=19.
  • F_{14}=F_{13}+f_{14}=19+1=20.
Assim, a frequência acumulada absoluta até 10\% é F_{10}=10. Portanto, o número de amostras com teor de umidade inferior ou igual a 10\% é 10 amostras.

Passo 6

Identificar o(s) teor(es) mais frequente(s) (moda):
  • A moda é o valor com maior frequência absoluta f_i.
  • Observamos f_{9}=4, f_{10}=4 e f_{11}=4, que são as maiores frequências (empate).
  • Logo há três modas: 9\%, 10\% e 11\%. O conjunto é tri-modal.

Resposta

(a) Tabela de frequência:
x = 8: f = 2; h = 0{,}10 ( 10\%)
x = 9: f = 4; h = 0{,}20 ( 20\%)
x = 10: f = 4; h = 0{,}20 ( 20\%)
x = 11: f = 4; h = 0{,}20 ( 20\%)
x = 12: f = 3; h = 0{,}15 ( 15\%)
x = 13: f = 2; h = 0{,}10 ( 10\%)
x = 14: f = 1; h = 0{,}05 ( 5\%)
(b) Frequência acumulada absoluta:
F_{8}=2,\;F_{9}=6,\;F_{10}=10,\;F_{11}=14,\;F_{12}=17,\;F_{13}=19,\;F_{14}=20.
Número de amostras com teor \leq 10\%: 10.
(c) Teor(s) mais frequente(s) (moda): 9\%, 10\% e 11\% (tri-modal).