Terceira Avaliação
Determine se a série sumn=1^infty[e^1 / n-e^1 /(n+1)] converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^inftyl[e^1/n-e^1/(n+1)r] converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar sua soma. Esse conteúdo envolve séries telescópicas, então vamos usar soma parcial e limites para resolver.

Passo 2

Definimos a soma parcial
SN=sumn=1^Nl[e^1/n-e^1/(n+1)r]
Em séries telescópicas, muitos termos intermediários se cancelam quando expandimos essa soma.

Passo 3

Expandindo explicitamente SN vemos o cancelamento:
SN=(e^1/1-e^1/2)+(e^1/2-e^1/3)+cdots+(e^1/N-e^1/(N+1))=e^1-e^1/(N+1)=e-e^1/(N+1)

Passo 4

Para concluir, calculamos o limite de SN quando Ntoinfty. Como 1/(N+1)to0, temos
limNtoinftySN=e-limNtoinftye^1/(N+1)=e-1
Portanto a série converge.

Resposta

A série converge, e sua soma é e-1.

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