Para testar se uma criança tem algum conhecimento sobre determinado assunto, elaboraram-se 12 questões do tipo certo-errado. A criança acertou 11. Qual é a conclusão ao nível de significância de 5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma criança respondeu 12 questões de certo ou errado sobre um assunto, acertando 11 delas. A gente quer descobrir se isso significa que a criança realmente conhece o assunto ou se foi só sorte. Para resolver isso, vamos usar Testes de Hipóteses na estatística, que ajuda a decidir se os resultados que vimos são significativos ou podem ser explicados pelo acaso. Precisamos entender um pouco sobre probabilidade e distribuição binomial para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A criança está apenas chutando as respostas, ou seja, a probabilidade de acertar cada questão é 50% (p = 0,5).
  • Hipótese Alternativa (H₁): A criança tem conhecimento sobre o assunto, então a probabilidade de acertar é maior que 50% (p > 0,5).

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter 11 ou mais acertos se a criança estivesse apenas chutando. Como as questões são de certo ou errado, podemos usar a Distribuição Binomial para isso. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 12 $ (número de questões)
  • $ k = 11 $ (número de acertos)
  • $ p = 0,5 $ (probabilidade de acertar por chute)

Passo 4

Vamos calcular para $ k = 11 $ e $ k = 12 $, já que queremos a probabilidade de acertar 11 ou 12 questões:
Para $ k = 11 $:
k = 11
Para $ k = 12 $:
k = 12

Passo 5

Somando as probabilidades de $ k = 11 $ e $ k = 12 $ para obter a probabilidade cumulativa:
k = 11
Isso significa que há cerca de 0,31738% de chance de a criança acertar 11 ou mais questões apenas chutando.

Passo 6

Agora, comparamos essa probabilidade com o nível de significância de 5% (0,05). Se a probabilidade calculada for menor que 5%, rejeitamos a hipótese nula.
Como 0,31738% < 5%, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Concluímos, com nível de significância de 5%, que a criança realmente possui conhecimento sobre o assunto avaliado.

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