Em um teste de cultura de bactérias, espera-se que a população cresça de acordo com a função f(t)=1000 \cdot 1,20^{5 t}, com t medido em horas. Determine em quantas horas a população atinge 1.000.000 de indivíduos.

Passo 1

O enunciado dá a função de crescimento da população de bactérias
f(t)=1000 \cdot 1,20^{5t},
com t em horas, e pede o instante t em que f(t)=1.000.000.
O conteúdo aqui é resolver uma equação exponencial usando logaritmos.

Passo 2

Substituímos f(t)=1.000.000 na expressão e isolamos a potência:
1000 \cdot 1,20^{5t} = 1.000.000 \quad\Longrightarrow\quad 1,20^{5t} = \frac{1.000.000}{1000} = 1000.

Passo 3

Para “trazer” o expoente para fora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\bigl(1,20^{5t}\bigr) = \ln(1000) \quad\Longrightarrow\quad 5t \,\ln(1,20) = \ln(1000).

Passo 4

Isolamos t dividindo por 5\ln(1,20):
t = \frac{\ln(1000)}{5\,\ln(1,20)}.
Agora calculamos numericamente:
\ln(1000)\approx 6,9078, \quad \ln(1,20)\approx 0,1823,
5\,\ln(1,20)\approx 0,9116, \quad t \approx \frac{6,9078}{0,9116}\approx 7,58.

Resposta

A população atinge 1.000.000 de indivíduos em aproximadamente 7,6 horas.

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