Teste da razão e da raiz para convergência de sequências: Seja
para todo
.
a) Mostre que se
onde
então
. E se
ou
então
.
b) Mostre que se
onde
então
. Se
ou
então
.
c) Use o item a) para ver se é possível determinar quais das sequências abaixo convergem para 0? Quais vão para infinito?
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-
-
a) Mostre que se
b) Mostre que se
c) Use o item a) para ver se é possível determinar quais das sequências abaixo convergem para 0? Quais vão para infinito?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar dois testes clássicos de convergência para sequências positivas
:
- No item (a), o teste da razão: se
, então conclude-se que se , e se ou . - No item (b), o teste da raiz: se
, então se , e se ou .
No item (c), usar o teste da razão para decidir, quando possível, se cada uma das dez sequências dadas tende a 0 ou a.
Passo 2
Demonstração do teste da razão (item a):
- Suponha
com . Então existe tal que e um índice com
- Daí
para . Iterando essa desigualdade até o termo , obtém-se
- Como
, temos e, portanto, . - Se
(ou ), ache e tais que para ; iterando, dá .
Passo 3
Demonstração do teste da raiz (item b):
- Suponha
com . Então existe tal que e um com
- Elevando à
-ésima: . Como , segue . - Se
(ou ), escolha e com para ; então .
Passo 4
Cálculo de
para cada sequência:
-
:
. -
:
. -
:
. -
:
. -
:
usandoe análise assintótica, chega-se a
. -
:
. -
:
. -
:
. -
:
-
:
por expansão assintótica, mostra-se
.
Passo 5
Interpretação pelo teste da razão:
- Se
, então . - Se
ou é , então . - Se
, o teste é inconclusivo (não garante nem 0 nem ).
Resposta
Pelo teste da razão, nas dix sequências do item (c):
Convergem para 0: 2), 3), 4), 5), 7), 8), 9), 10).
Tendem a : 6).
Para 1) o teste da razão dá , é inconclusivo (mas sabe-se por outro argumento que
).
Convergem para 0: 2), 3), 4), 5), 7), 8), 9), 10).
Tendem a
Para 1) o teste da razão dá