Teste da razão e da raiz para convergência de sequências: Seja a_{n}>0 para todo n.
a) Mostre que se \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \rightarrow L onde 0 \leq L<1 então a_{n} \rightarrow 0. E se \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \rightarrow L>1 ou L=\infty então a_{n} \rightarrow \infty.
b) Mostre que se \sqrt[n]{a_{n}} \rightarrow L onde 0 \leq L<1 então a_{n} \rightarrow 0. Se L=\infty ou L>1 então a_{n} \rightarrow \infty.
c) Use o item a) para ver se é possível determinar quais das sequências abaixo convergem para 0? Quais vão para infinito?
  1. a_{n}=n
  2. a_{n}=n^{2} / 2^{n}
  3. a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}
  4. a_{n}=\frac{(n+1)(n+2)}{n!}
  5. a_{n}=\sqrt{n}\left(\frac{2 n-1}{n^{2}+13}\right)^{n}
  6. a_{n}=\frac{(2 n!)}{n^{n}}
  7. a_{n}=\frac{2^{n}}{n!}
  8. a_{n}=\frac{(2 n)!}{n^{2 n}}
  9. a_{n}=\frac{1.3 .5 .2 n-1}{2.4 .6 \cdot 2 n}
  10. a_{n}=\left(\frac{3 n^{3}-7 n^{2}+4}{7 n^{3}+n+10}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar dois testes clássicos de convergência para sequências positivas (a_n>0):
  • No item (a), o teste da razão: se \lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=L, então conclude-se que a_n\to0 se 0\le L<1, e a_n\to\infty se L>1 ou L=\infty.
  • No item (b), o teste da raiz: se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L, então a_n\to0 se 0\le L<1, e a_n\to\infty se L>1 ou L=\infty.
    No item (c), usar o teste da razão para decidir, quando possível, se cada uma das dez sequências dadas tende a 0 ou a \infty.

Passo 2

Demonstração do teste da razão (item a):
  1. Suponha \lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=L com 0\le L<1. Então existe c tal que L<c<1 e um índice N com
\frac{a_{n+1}}{a_n}<c\quad\forall\,n\ge N.
  1. Daí a_{n+1}<c\,a_n para n\ge N. Iterando essa desigualdade até o termo n, obtém-se
a_n < a_N\,c^{\,n-N}.
  1. Como 0<c<1, temos c^{\,n-N}\to0 e, portanto, a_n\to0.
  2. Se L>1 (ou L=\infty), ache c>1 e N tais que \tfrac{a_{n+1}}{a_n}>c para n\ge N; iterando, dá a_n>a_N\,c^{\,n-N}\to\infty.

Passo 3

Demonstração do teste da raiz (item b):
  1. Suponha \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L com 0\le L<1. Então existe c tal que L<c<1 e um N com
\sqrt[n]{a_n}<c\quad\forall\,n\ge N.
  1. Elevando à n-ésima: a_n<c^n. Como c^n\to0, segue a_n\to0.
  2. Se L>1 (ou L=\infty), escolha c>1 e N com \sqrt[n]{a_n}>c para n\ge N; então a_n>c^n\to\infty.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} para cada sequência:
  1. a_n=n:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n}\to1.
  2. a_n=\frac{n^2}{2^n}:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}=\frac{(n+1)^2}{2\,n^2}\to\frac12.
  3. a_n=\frac{n!}{n^n}:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n\to e^{-1}.
  4. a_n=\frac{(n+1)(n+2)}{n!}:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+3}{(n+1)^2}\to0.
  5. a_n=\sqrt n\Bigl(\frac{2n-1}{n^2+13}\Bigr)^n:
    usando \tfrac{2n-1}{n^2+13}\sim\frac{2}{n} e análise assintótica, chega-se a
    \displaystyle\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.
  6. a_n=\frac{(2n)!}{n^n}:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=(4n+2)\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^n\sim\frac{4n}{e}\to\infty.
  7. a_n=\frac{2^n}{n!}:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2}{n+1}\to0.
  8. a_n=\frac{(2n)!}{n^{2n}}:
    \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\to4e^{-2}\approx0,54.
  9. a_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}:
a_n=\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}, \quad \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+2}{n+1}\,\frac{2n+1}{4(n+1)}\to\frac12.
  1. a_n=\Bigl(\frac{3n^3-7n^2+4}{7n^3+n+10}\Bigr)^n:
    por expansão assintótica, mostra-se
    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac37<1.

Passo 5

Interpretação pelo teste da razão:
  • Se \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}<1, então a_n\to0.
  • Se \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 ou é \infty, então a_n\to\infty.
  • Se \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=1, o teste é inconclusivo (não garante nem 0 nem \infty).

Resposta

Pelo teste da razão, nas dix sequências do item (c):
Convergem para 0: 2), 3), 4), 5), 7), 8), 9), 10).
Tendem a \infty: 6).
Para 1) o teste da razão dá \lim=1, é inconclusivo (mas sabe-se por outro argumento que n\to\infty).

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